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- 2024-03-06 发布
专题二 函数
狂刷06指数函数与对数函数
1．已知全集U＝R，函数的定义域为M，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，要使函数有意义，则，则，即，所以．故选B．
2．设命题，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数(a＞0，且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是
A．(1，6) B．(1，5)
C．(0，5) D．(5，0)
【答案】A
【解析】根据指数函数的性质，令，解得x＝1，则，所以点P的坐标是(1，6)．故选A．x?k>w
4．三个数之间的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，，，∴．故选C．
5．已知，，其中a＞0，a≠1，若f(1)g(2)＜0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是
A B C D
【答案】C
【解析】因为f(1)g(2)＝aloga2＜0(a＞0，a≠1)，∴loga2＜0，∴0＜a＜1．结合四个选项，可知选C．
6．若存在正数x使成立，则a的取值范围是
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】D
【解析】由题意可得(x＞0)．令f(x)＝，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，存在正数x使原不等式成立．故选D．
7．设函数，则的值为
A． B．
C． D．12
【答案】C
8．设偶函数在上是增函数，则与的大小关系是
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，所以b＝0，又因为函数在上上是增函数，所以0＜a＜1，则，则
，故选C．
9．下列函数中，满足“”的单调递增函数是
A． B．
C． D．
【答案】D
10．若函数过定点(2，3)，则m+n＝_______________．
【答案】6
【解析】由已知，得，解得，故m+n＝6．
11．（1）满足的x的取值范围是_______________；
（2）函数的单调递增区间是_______________；
（3）函数的值域是_______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）即，利用指数函数的单调性，可得x－3＜－2，即x＜1．
（2）设，则函数可化为是减函数，的减区间是，增区间是，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是．
（3）令u＝－x2+2x，则u＝－x2+2x＝－(x－1)2+1≤1，则0＜u≤1．∵y＝lg u在u(0，+∞)上是增函数，所以y＝lg u≤lg 1，即y＝lg(－x2+2x)≤0，∴函数y＝lg(－x2+2x)的值域是(－∞，0]．
12．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围为_____________．
【答案】
13．设a＞0，b＞0，
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
【答案】A
【解析】函数y＝2x＋2x为单调递增函数，若2a＋2a＝2b＋2b，则a＝b，若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b．故选A．
14．设是定义在实数集R上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由是偶函数得的图象关于y轴对称，故的图象关于直线对称．由题意可知当时，为减函数，所以当时，为增函数，故．
15．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以使，即
成立的充要条件是，解得，所以使成立的一个充分不必要条件是的一个子集，故选A．
16．已知函数(a＞0，且a≠1)，若，则函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
【答案】A
17．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足
，则a的最小值是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】依题意可得
．又函数在区间上单调递增，得，解得，即a的最小值是，故选C．
18．若，则实数x的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】由已知，得或，解得或，所以实数x的取值范围为．
19．某地区发生爆炸事故后，为了尽快缓解该地区地下水的污染状况，环保部门采取了一系列的措施，其中包括投放化学制剂A．已知投放化学制剂A 30天后，地下水中氰化物的浓度N(单位：g/m3)与投放化学制剂A的强度m(kg/天)之间的关系为．若要使30天后，氰化物的浓度变为lg 2 g/m3，需投放化学制剂A的强度为100 kg/天，则要使30天后，氰化物的浓度变为lg 2 g/m3，需投放化学制剂A的强度为_______________kg/天． x[k]w
【答案】400
【解析】由题意得lg 2＝，所以，令lg 2，得，解得m＝400，即需投放化学制剂A的强度为400 kg/天．
20．若定义运算，则函数的值域是_______________．
【答案】
21．已知函数，则使的x的集合是_______________．
【答案】
【解析】当x≤0时，由，得x＝－1．当x＞0时，由，得或．由，解得；由，解得．故填．
22．甲、乙两人解关于x的方程：，甲写错了常数b，得到根，；乙写错了常数c，得到根，64．则原方程的两根之和为_______________．
【答案】12
23．（2017北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D．
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，．
24．（2017天津理）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
25．(2016新课标I)若，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可知是减函数，又，所以．故选B．
【解题规律】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．本题也可以用特殊值代入验证．
26．（2016新课标全国II理）若a＞b＞1，0＜c＜1，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，考虑幂函数，由c＞0可知为增函数．又a＞b＞1，所以，错误；
对于B，⇔，又是减函数，错误；
对于D，由对数函数的性质可知D错误，故选C．
27．（2017新课标全国I理）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】令，则，，，
∴，则，，则，故选D．
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小．对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示．
28．（2016浙江理）已知a＞b＞1．若，，则a＝_________，b＝_________．
29．（2016天津理）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（－，0）上单调递增．若实数a满足
，则a的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】由题意在上单调递减，且是偶函数，可知不等式可化为，则，即，解得，故填．