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- 2024-03-05 发布
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2019届广东省华南师范大学附属中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合A=xx2-2x>0,B=x-20在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q分别是这段图像的最高点和最低点，M,N是图像与x轴的交点，且∠PMQ=900，则A的值为
A． 2 B． 1 C． 3 D． 2
9．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为
A． 2516 B． 32 C． 2116 D． 3
10．设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5<K6，K6=K7>K8，则下列结论错误的是
A． 0K5 D． K6与K7均为Kn的最大值
11．正ΔABC边长为2，点P是ΔABC所在平面内一点，且满足BP=32，若AP=λAB+μAC，则λ+μ的最小值是
A． 12 B． 52 C． 2 D． 233
12．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，lnx⋅f'(x)<-1xf(x)，则使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是
A． (-2,0)∪(0,2) B． (-∞,-2)∪(2,+∞)
C． (-2,0)∪(2,+∞) D． (-∞,-2)∪(0,2)
二、填空题
13．已知向量a=(1,2),b=(m,-1)，若a//(a+b)，则a⋅b=__________．
14．已知， ，则__________．
15．由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0所围成图形的面积为________．
16．在ΔABC中，D为BC的中点，AC=23,AD=7,CD=1，点P与点B在直线AC的异侧，且PB=BC，则平面四边形ADCP的面积的最大值为_______.
三、解答题
17．已知等差数列an的前nn∈N*项和为Sn，数列bn是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．
（1）求数列an和bn的通项公式；
（2）若cn=2Sn，设数列cn的前n项和为Tn，求Tn．
18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y表示第x天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
5
8
8
10
14
15
17
（1）经过进一步统计分析，发现y与x具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X的分布列及数学期望．
参考公式：b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx，i=17xiyi=364，i=17xi2=140．
19．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°．
（1）求证：BF⊥AE；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的正切值．
20．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，且点P1，32在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M1，1任作一条直线l，l与椭圆E交于不同于P点的A，B两点，l与直线m:3x+4y-12=0交于C点，记直线PA、PB、PC的斜率分别为k1、k2、k3．试探究k1+k2与k3的关系，并证明你的结论．
21．已知函数fx=lnx+ax-x+1-aa∈R.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若存在x>1，使fx+x<1-xx成立，求整数a的最小值.
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ+π6-3=0，曲线C的参数方程是x=2cosφy=2sinφ（φ为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求PA+PB．
23．已知函数fx=x+m+2x-1．
（1）当m=-1时，求不等式fx≤2的解集；
（2）若fx≤2x+1在x∈1，2上恒成立，求m的取值范围．
2019届广东省华南师范大学附属中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.
【详解】
求解一元二次不等式x2-2x>0可得A=x|x>2或x<0，
据此可知A∩B=x|-20，所以排除D,故答案为：B.
点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.
6．A
【解析】
由题意，数列an为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，a3+a5+a7=3a5=12，则a5=4，所以a1+a9=2a5=8.故选A.
7．B
【解析】
【分析】
本题可以先通过题意计算出sinα-β以及cosα+β的值，
再通过sin2α=sinα-β+α+β解得sin2α的值。
【详解】
因为π2<β<α<34π，cosα-β=1213，sinα+β=-35，
所以sinα-β=513，cosα+β=-45，
sinα-β+α+β=sinα-βcosα+β+cosα-βsinα+β
=513×-45+1213×-35=-5665，
故选B。
【点睛】
在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说sin2α即可化简成sinα-β+α+β的值。
8．C
【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，求出函数的周期，利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论.
详解：过Q,P分别作x轴的垂线，垂足为B,C，
因为函数的周期为T=2ππ2=4，所以MN=2,CN=1，
因为∠PMQ=90°，所以PQ=2MN=4，即PN=2，
则PC=PN2-NC2=4-1=3，即A=3，故选C.
点睛：该题考查的是有关三角函数的图像的问题，在解题的过程中，需要关注题的条件，找出对应的线段的长度，利用直角三角形的特征，列出相应的等量关系式，求得结果.
9．C
【解析】
【分析】
根据条件，选取AB,AD为基底，设DE=λDC,即可表示出AE,BE，利用向量的数量积公式得到关于λ的函数，求其最值即可.
【详解】
由题意知,RTΔADC≅RTΔABC,所以∠DAC=∠BAC=60°,AC=2,DC=3
设DE=λDC, 因为AE=AD+DE,BE=BA+AD+DE，
所以AE⋅BE=(AD+DE)⋅BE=
(AD+λDC)⋅(BA+AD+DE)=1×1×cos60∘+12+λDC⋅BA+λ2|DC|2
=32+λ（AC-AD)⋅BA+3λ2
=32+λ(2×1×cos120°-1×1×cos60°)+3λ2=32-32λ+3λ2
=12（6λ2-3λ+3） （0≤λ≤1）
所以当λ=14时，AE⋅BE有最小值2116,故选C.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算及向量的数量积运算，属于难题，解题关键是根据平面几何的得出线段的长及两边的夹角.
10．C
【解析】分析：利用等比数列an=a1qn-1的通项公式，解出Kn的通项公式，化简整理K5<K6，K6=K7>K8这三个表达式，得出结论。
详解：设等比数列an=a1qn-1，Kn是其前n项的积所以Kn=a1nqn(n-1)2，由此
K5K8⇒1>a1q7
所以a7=a1q6=1，所以B正确，
由10，可得gx在0,+∞上为减函数，可得在区间0,1和1,+∞上，都有fx<0，结合函数的奇偶性可得在区间-1,0和-∞,-1上，都有fx>0，原不等式等价于x2-4>0fx>0或x2-4<0fx<0，解可得x的取值范围，即可得到结论.
【详解】
根据题意，设gx=lnx⋅fx,x>0，
其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=1xfx+lnxf'x，
又由当x>0时，lnx⋅f'x<-1xfx，
则有g'x=1xfx+lnx⋅f'x<0，
即函数gx在0,+∞上为减函数，
又由g1=ln1⋅f1=0，
则在区间0,1上，gx=lnx⋅fx>0，
又由lnx<0，则fx<0，
在区间1,+∞上，gx=lnx⋅fx<0，
又由lnx>0，则fx<0，
则fx在0,1和1,+∞上，fx<0，
又由fx为奇函数，则在区间-1,0和-∞,-1上，都有fx>0，
x2-1fx>0⇔x2-4>0fx>0或x2-4<0fx<0，
解可得x<-2或0b>0的离心率为12，
所以e=ca=12⇒a=2c，
因为a2=b2+c2，所以b=3c．故可设椭圆E的方程为：x24c2+y23c2=1，
因为点P1，32在椭圆E上，
所以将其代入椭圆E的方程得14c2+943c2=1⇒c2=1．
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
（2）依题意，直线l不可能与x轴垂直，故可设直线l的方程为：y-1=kx-1，
即y=kx-k+1，Ax1，y1，Bx2，y2为l与椭圆E的两个交点．
将y=kx-k+1代入方程3x2+4y2-12=0化简得：
4k2+3x2-8k2-kx+4k2-8k-8=0．
所以x1+x2=8k2-8k4k2+3，x1x2=4k2-8k-84k2+3．
所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=kx1-1-12x1-1+kx2-1-12x2-1=2k-121x1-1+1x2-1 =2k-12⋅x1+x2-2x1x2-x1+x2+1=2k-12⋅8k2-8k-24k2+34k2-8k-8-8k2-8k+4k2+3=6k-35．
又由y=kx-k+13x+4y-12=0⇒3x+4kx-k+1-12=0，解得x=4k+84k+3，y=9k+34k+3，
即C点的坐标为C4k+84k+3，9k+34k+3，所以k3=9k+34k+3-324k+84k+3-1=6k-310．
因此，k1+k2与k3的关系为：k1+k2=2k3。
【点睛】
本题是圆锥曲线中的椭圆类题目，在解决这类题目时，需要对相关的性质有着足够的了解以及扎实的计算能力，并且能够对x1+x2与x1x2进行灵活运用。
21．（1）当a≤0时，x∈(0,1+1-4a2)，f(x)单调递增，当x∈(1+1-4a2,+∞)时， f(x)单调递减；当0xlnx+2x-1x-1，构造新函数，g(x)=xlnx+2x-1x-1，求导算出零点的范围，从而求出结果
解析：（1）由题意可知，x>0，f'(x)=1x-ax2-1=-x2+x-ax2，
方程-x2+x-a=0对应的Δ=1-4a，
当Δ=1-4a≤0，即a≥14时，当x∈(0,+∞)时，f'(x)≤0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当00，函数f(x)单调递增，
在（0，1-1-4a2），(1+1-4a2,+∞)上f'(x)<0，函数f(x)单调递减；
当a≤0时，1-1-4a2<0，1+1-4a2>0，
此时当x∈(0,1+1-4a2),f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1+1-4a2,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
综上：当a≤0时，x∈(0,1+1-4a2)，f(x)单调递增，当x∈(1+1-4a2,+∞)时， f(x)单调递减；
当0xlnx+2x-1，
即存在x>1，使a>xlnx+2x-1x-1成立．
设g(x)=xlnx+2x-1x-1，x>1，
则g'(x)=x-lnx-2(x-1)2，
设h(x)=x-lnx-2，
则h'(x)=1-1x=x-1x>0，∴h(x)在(1,+∞)上单调递增．
又h(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,h(4)=4-ln4-2=2-2ln2>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(1,+∞)上有唯一零点，设该零点为x0， 则x0∈(3,4)，且h(x0)=x0-lnx0-2=0，即x0-2=lnx0，
∴g(x)min=x0lnx0+2x0-1x0-1=x0+1
由题意可知a>x0+1，又x0∈(3,4)，a∈Z，∴a的最小值为5.
点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。
22．（1）x+3y-3=0，x2+y2=4；（2）33
【解析】
试题分析：（1）根据极直互化的公式得到直线方程，根据参普互化的公式得到曲线C的普通方程；（2）联立直线的参数方程和曲线得到关于t的二次，PA+PB=t1+t2 =t1+t2=33.
解析：
（Ⅰ）2ρsin(θ+π6)-3=0，
化为3ρsinθ+ρcosθ-3=0，
即l的普通方程为x+3y-3=0，
x=2cosφy=2sinφ消去φ，得C的普通方程为x2+y2=4.
（Ⅱ）在x+3y-3=0中令y=0得P(3,0)，
∵k=-33，∴倾斜角α=5π6，
∴l的参数方程可设为x=3+tcos5π6y=0+tsin5π6即x=3-32ty=12t，
代入x2+y2=4得t2-33t+5=0，Δ=7>0，∴方程有两解，
t1+t2=33，t1t2=5>0，∴t1，t2同号，
PA+PB=t1+t2 =t1+t2=33.
23．（1）x0≤x≤43；（2）m∈-3，0
【解析】
【分析】
（1）将m=-1带入函数fx中，再通过去绝对值将函数fx转化为分段函数，依次解出fx≤2的解集；
（2）可通过x∈1，2将函数fx化简为fx=x+m+2x-1，
把2x+1化简为2x+1，再通过fx≤2x+1解出m的取值范围。
【详解】
（1）当m=-1时，fx=x-1+2x-1，
①x≥1时，fx=3x-2≤2，解得1≤x≤43；
②当12
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