数学文卷·2018届江苏省溧阳市高三上学期（期中）阶段性调研测试（2017 11页

‎2017-2018学年度第一学期阶段性调研测试 高三（文科）数学试题 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.只需直接写出结果．‎ ‎1.已知为虚数单位，复数，则复数的实部是___________．‎ ‎2.设集合，则____________．‎ ‎3.函数的定义域为________________． ‎ ‎4.已知，的夹角为120°，则________________．‎ ‎5.函数是奇函数，当时，，且，则_____________．‎ ‎6.曲线在点处的切线方程为_________________．‎ ‎7.设等差数列的前项和为，若，当取最大值时，_____________．‎ ‎8.三角形的内角的对边分别为．，则_____________________．‎ ‎9.给出下列命题：‎ ‎（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；‎ ‎（2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；‎ ‎（3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；‎ ‎（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．‎ 则其中所有真命题的序号是___________________．‎ ‎10.如图，在直角梯形中，为中点，若，则_______________．‎ ‎11. ，“”是“角成等差数列”成立的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．‎ ‎12.设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为_______________．‎ ‎13.扇形中，弦为劣弧上的动点，与交于点，则的最小值是_____________________．‎ ‎14. 设函数，则满足的的取值范围为_____________．‎ 二、解答题（本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） .‎ ‎15.已知．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎16.如图，在三棱锥中，．为的中点，为上一点，且平面．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎17.已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式：；‎ ‎（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．‎ ‎18. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．‎ ‎（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？‎ ‎（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？‎ ‎19.已知数列中，，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．‎ ‎（1）若，且，求；‎ ‎（2）是否存在实数，使数列是公比为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，求．（用表示）．‎ ‎20. 已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数既有一个极小值又有一个极大值，求的取值范围；‎ ‎（3）若存在，使得当时，的值域是，求的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1． -1 2. 3． 4． 5． -5 6． 7． 6‎ ‎8． 9．（1）（3） 10. 11．必要不充分 12． 16 13． 14. 或 ‎ ‎15.（1）∵， ∴，‎ ‎∴，‎ 又∵， ∴；‎ ‎（2），‎ ‎∵， ∴， ∴，‎ ‎∴时，有最大值3，‎ ‎∴时，有最小值．‎ ‎16.（1）因为平面，平面，‎ 平面平面，所以，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）因为为的中点，，所以为的中点，‎ 因为，所以，‎ 由于，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 又平面，，‎ 所以平面 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎17.（1）由不等式的解集为知，‎ 关于的方程的两根为-1和，且，‎ 由根与系数关系，得， ∴，‎ 所以原不等式化为，‎ ‎①当时，原不等式转化为，解得；‎ ‎②当时，原不等式化为，且，解得或；‎ ‎③当时，原不等式化为，解得且；‎ ‎④当时，原不等式化为，且，‎ 解得或；‎ 综上所述：当时，原不等式解集为；‎ 当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为．‎ ‎（2）假设存在满足条件的实数，‎ 由（1）得：，‎ ‎，‎ 令，则，，‎ 对称轴，‎ 因为，所以，，‎ 所以函数在单调递减，‎ 所以当时，的最小值为，‎ 解得（舍去），或，‎ 故存在满足条件的．‎ ‎18.（1）【理解1】‎ ‎（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 ‎（元）‎ ‎（2）①当时，，‎ ‎②当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元．‎ ‎，‎ 当时，，当且仅当时，有最小值（元）‎ 当时，，‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，有最小值393元．‎ ‎【理解2】‎ ‎（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 ‎（元）‎ ‎（2）①当时，，‎ ‎②当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元．‎ ‎，‎ 当时，，当且仅当时有最小值（元）‎ 当时，，‎ ‎，令得，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值 递增 因为，当时，，‎ 当时，，‎ 当且仅当时，取最小值．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，有最小值392.16元．‎ ‎19.（1）时，，‎ 所以数列是等差数列，‎ 此时首项，公差，‎ 数列的前项和是；‎ 故，得 ；‎ ‎（2）设数列是等比数列，则它的公比，所以，‎ ‎①为等差中项，则，‎ 即，解得，不合题意；‎ ‎②为等差中项，则,‎ 即，化简得：，解得或（舍去）；‎ ‎③若为等差中项，则，‎ 即，化简得：，解得；‎ ‎；‎ 综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，；‎ ‎（3），则，‎ ‎，‎ 当是偶数时，‎ ‎，‎ 当是奇数时，‎ ‎，‎ 也适合上式，‎ 综上可得，．‎ ‎20.（1）的定义域为，‎ 当时，，令得，‎ 当时，当时，，‎ ‎∴函数的增区间为，减区间为；‎ ‎（2），则，‎ 令，若函数有两个极值点，‎ 则方程必有两个不等的正根，‎ 设两根为，于是，解得，‎ 当时，有两个不相等的正实根，设为，不妨设，‎ 则，‎ 当时，，，在上为减函数；‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当时，，函数在上为减函数．‎ 由此，是函数的极小值点，是函数的极大值点．符合题意 ．‎ 综上，所求实数的取值范围是；‎ ‎（3），‎ ‎①当时，，‎ 当时， 的上为减函数；‎ 当时，在上为增函数，‎ 所以，当时，的值域是，‎ 不符合题意．‎ ‎②当时，，‎ ‎（i）当，即时，当变化时，的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 若满足题意，只需满足，即，‎ 整理得，令，‎ 当时，，所以在上为增函数，‎ 即当时，，‎ 可见，当时，恒成立，‎ 故当时，函数的值域是；‎ 所以满足题意．‎ ‎（ii）当，即时，，当且仅当时取等号，‎ 所以在上为减函数，从而在上为减函数，‎ 符合题意；‎ ‎（iii）当，即时，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 减函数 极小值0‎ 增函数 极大值 减函数 若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），‎ 即，且，‎ 又，所以，此时，，‎ 综上，，‎ 所以，实数的取值范围是．‎