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- 2024-03-03 发布
四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知（为虚数单位，），，则（ ）
A．3 B． C． D．1
2.已知单位向量、，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
3.给出两个命题：：“事件与事件对立”的充要条件是“事件与事件互斥”；：偶函数的图象一定关于轴对称，则下列命题是假命题的是（ ）
A．或 B．且 C．或 D． 且
4.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．
5.执行如图所示程序框图，输出的（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6.函数在区间
上的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7.一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数在区间上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知等比数列，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11.正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
12.设，为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量
，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C． D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合，，则 ．
14.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为 ．
15.在平面向量中有如下定理：设点、、、为同一平面内的点，则、、三点共线的充要条件是：存在实数，使.试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则 ．
16.已知，，若存在实数，同时满足和，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知在中，、、分别是角、、的对边，且，.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的面积.
18.3月12日，全国政协总工会界别小组会议上，人社部副部长汤涛在回应委员呼声时表示无论是从养老金方面，还是从人力资源的合理配置来说，延迟退休是大势所趋.不过，汤部长也表示，不少职工对于延迟退休有着不同的意见.某高校一社团就是否同意延迟退休的情况随机采访了200名市民，并进行了统计，得到如下的列联表：
赞同延迟退休
不赞同延迟退休
合计
男性
80
20
100
女性
60
40
100
合计
140
60
200
（Ⅰ）根据上面的列联表判断能否有的把握认为对延迟退休的态度与性别有关；
（Ⅱ）为了进一步征求对延迟退休的意见和建议，从抽取的200位市民中对不赞同的按照分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人为男性的概率.
附：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.如图，四棱锥的底面是菱形，且，其对角线、交于点，、是棱、上的中点.
（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）若面底面，，，，求三棱锥的体积.
20.已知椭圆：的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆的右顶点为，且满足.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围.
21.已知函数是偶函数，且满足，当时，，当时，的最大值为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）试将曲线的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）直线过点，交曲线于、两点，若的定值为，求实数的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动
文科数学试题评分参考
一、选择题
1-5: DCBCB 6-10: ADADC 11、12：AB
二、填空题
13. 14. 100 15. 16.
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由，
即，
，所以，
则，即，故.
（Ⅱ）由知，所以，即，
所以．
（18）解：（Ⅰ） ．
所以有99.5%的把握认为对延迟退休的态度与性别有关．
（Ⅱ）设从不赞同延迟退休的男性中抽取人，从不赞同延迟退休的女性中抽取人，
由分层抽样的定义可知，解得，
在抽取的不赞同延迟退休的6人中，男性2人记为，，女性4人记为，， ，，
则所有的基本事件如下：
， ， ， ，
， ， ，
，， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ， 共20种，
其中至少有1人为男性的情况有16种．
记事件为“至少有1人为男性不赞同延迟退休”，则．
（19）（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，则是的中点，且，
又、是棱、上的中点，
则，所以，
又在中，，
故面面．
（Ⅱ）解：在中，，即，
由（Ⅰ）知：，，所以，
所以，
因为面底面，所以点到面的距离即为点到的距离，
又在菱形中，，，所以点到的距离为，
因为、、是、、上的中点，面面，
所以点到面的距离为点到面的距离的一半，
故．
（20）解：（Ⅰ）由知，， ……2分
因为，所以，，
则椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，，
由题得：，
则，即，
且，
又设中点的坐标为，
因为，所以，即，
又，，
所以，故，且，故．
（21）解：（Ⅰ）函数满足：
即，所以，
当时，，
所以当时，，.
又因为，所以恒成立，
则在上递增，所以，
故．
（Ⅱ）当时，，，
所以函数在单调递增，
即时，．
当时，，
．
当时，函数在区间单调递增，，
对任意的，总存在，使不等式恒成立，
则；
当时，函数在区间单调递减，，
所以；
综上所述，的取值范围是或．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）曲线的直角坐标系下的普通方程为．
（Ⅱ）设直线的参数方程(为参数，为直线的倾斜角，)，
代入的方程整理得，，
所以，，
，
所以．
（23）（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由知，而的解集为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即的解集为，
令，则，
所以，故．