数学卷·2018届福建省师大附中高二（创新班）上学期期中数学理试卷 （解析版） 19页

2016-2017 学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理 科）（创新班） 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．在△ABC 中，若 ，则∠B 等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在等差数列{an}中，若 a2+a4+a6+a8+a10=80，则 a7﹣ a8 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．若 ax2+bx+c＞0 的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数 f（x）=ax2+bx+c 应有（　　） A．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5） D．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） 4．若 a，b，c 为实数，下列结论正确的是（　　） A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2 C．若 a＜b＜0，则 D．若 a＜b＜0，则 5．等差数列{an}中，a1＞0，公差 d＜0，Sn 为其前 n 项和，对任意自然数 n，若点（n，Sn） 在以下 4 条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（　　） A． B． C． D． 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 7．已知函数 f（x）=4x2﹣1，若数列{ }前 n 项和为 Sn，则 S2015 的值为（　　） A． B． C． D． 8．不等式 的解集是（　　） A．（﹣3，﹣2） （0，+∞）　　 B．（﹣∞，﹣3） （﹣2，0） C．（﹣3，0） 　　　　　　　　D．（﹣∞，﹣3） （0，+∞） 9．等比数列的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项的和分别为 A，B，C，则（　　） A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2 D．A2+B2=A（B+C）    10．设 a＞b＞0，那么 a2+ 的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1= （n∈N*）．若 bn+1=（n﹣λ）（ +1），b1=﹣λ， 且数列{bn}是单调递增数列，则实数 λ 的取值范为（　　） A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3 12．若实数 a，b 满足 ，则 的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分） 13．（6 分）《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这 样的题目：把 10 磅面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是 较小的两份之和，则最小 1 份为　　磅． 14．（6 分）如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东 方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠ BDC=45°，则塔 AB 的高是　　米． 15．（6 分）已知{an}是由正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，且满足：an+ = （n≥ 1，n∈N+），则 an=　　． 16．（6 分）若对于任意实数 x，|x+a|﹣|x+1|≤2a 恒成立，则实数 a 的最小值为　　． 17．（6 分）设 f（x）= ，则 f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值 为　　． 18．（6 分）研究问题：“已知关于 x 的不等式 ax2﹣bx+c＞0，令 y= ，则 y∈（ ，1），所 以不等式 cx2﹣bx+a＞0 的解集为（ ，1）”．类比上述解法，已知关于 x 的不等式 + ＜0 的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于 x 的不等式 + ＜0 的解集 为　　． 　 三、解答题（共 5 小题，满分 54 分） 19．（12 分）已知{an}是由正数组成的等比数列，a2=2，且 a4，3a3，a5 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{an+1﹣λan}的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n﹣1（n∈N*），求实数 λ 的值． 20．（12 分）已知△ABC 中，A、B、C 分别为三个内角，a、b、c 为所对边， 2 （sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC 的外接圆半径为 ， （1）求角 C； （2）求△ABC 面积 S 的最大值． 21．（6 分）（1）已知 a、b∈R+，且 a+b=3，求 ab2 的最大值． （2）设函数 f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，求不等式 f（x）＞2 的解集． 22．（10 分）某工厂要制造 A 种电子装置 42 台，B 种电子装置 55 台，为了给每台装置配上 一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为 2m2，可作 A 外 壳 3 个 B 外壳 5 个；乙种钢板每张面积为 3m，可作 A 外壳和 B 外壳各 6 个．用这两种钢 板各多少张，才能使总的用料面积最小？ 23．（14 分）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且 an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）． （Ⅰ）设 bn=an+1+an（n∈N+），求证{bn}是等比数列； （Ⅱ）（i）求数列{an}的通项公式； （ii）求证：对于任意 n∈N+都有 + +…+ + ＜ 成立． 　 2016-2017 学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷 （理科）（创新班） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．在△ABC 中，若 ，则∠B 等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】正弦定理． 【专题】计算题． 【分析】根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角 形的内角得到角的度数只能是 45°． 【解答】解：∵ ， 又由正弦定理知 ， ∴sinB=cosB， ∵B 是三角形的一个内角， ∴B=45°， 故选 B． 【点评】本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时， 一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度． 　 2．在等差数列{an}中，若 a2+a4+a6+a8+a10=80，则 a7﹣ a8 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】等差数列的性质． 【专题】整体思想． 【分析】利用等差数列的性质先求出a6 的值，再用 a1 与 d 表示出 a7﹣ •a8，找出两者之间 的关系，求解即可． 【解答】解：由已知得：（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80， ∴a6=16， 设等差数列{an}首项为 a1，公差为 d， 则 a7﹣ a8=a1+6d﹣ （a1+7d）= （a1+5d）= a6=8． 故选 C． 【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想． 等差数列的性质：{an}为等差数列，当 m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq． 特例：若 m+n=2p（m，n，p∈N+），则 am+an=2ap． 　 3．若 ax2+bx+c＞0 的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数 f（x）=ax2+bx+c 应有（　　） A．f（5）＜f（﹣1）＜f（2） B．f（2）＜f（﹣1）＜f（5） C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5） D．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题． 【分析】由已知，可知﹣2，4 是 ax2+bx+c=0 的两根，由根与系数的关系，得出 ， 化函数 f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），利用二次函数图象与性质求解． 【解答】解：ax2+bx+c＞0 的解集为{x|﹣2＜x＜4}，可知﹣2，4 是 ax2+bx+c=0 的两根，由 根与系数的关系，所以 且 a＜0， 所以 ，函数 f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），抛物线对称轴为 x=1，开口向下，所以 f（5）＜f（﹣1）＜f（2） 故选 A 【点评】本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键， 属基础题． 　 4．若 a，b，c 为实数，下列结论正确的是（　　） A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2 C．若 a＜b＜0，则 D．若 a＜b＜0，则 【考点】不等式的基本性质． 【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式． 【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可 【解答】解：对于 A：若 a＞0，b，c，d 均小于 0，则不正确， 对于 B：若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2，正确， 对于 C：若 a＜b＜0，则 ＜ ，即 ＜ ，故 C 不正确， 对于 D：若 a＜b＜0，则 a2＞b2，则 ＞ ，即 ＞ ，故 D 不正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题 　 5．等差数列{an}中，a1＞0，公差 d＜0，Sn 为其前 n 项和，对任意自然数 n，若点（n，Sn） 在以下 4 条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】等差数列的前 n 项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答 案． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＞0，公差 d＜0，Sn 为其前 n 项和， ∴Sn=na1+ ×d= n2+（a1﹣ ）n， ∴点（n，Sn）在曲线 y= x2+（a1﹣ ）x， ∵d＜0， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴 x=﹣ ＞0， ∴对称轴在 y 轴的右侧， 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题． 　 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 【考点】余弦定理． 【专题】计算题． 【分析】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c2=a2+b2，以及增加同样的长度为 x，得到新的三 角形的三边为 a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判 断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形． 【解答】解：设增加同样的长度为 x，原三边长为 a、b、c，且 c2=a2+b2，c 为最大边； 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，其对应角最大． 而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= ＞0，则为锐角， 那么它为锐角三角形． 故选 A 【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的 能力． 　 7．已知函数 f（x）=4x2﹣1，若数列{ }前 n 项和为 Sn，则 S2015 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】数列的求和． 【分析】由 f（x）=4x2﹣1 得到 ，然后利用裂项相消法求得 S2015 的值． 【解答】解：由 f（x）=4x2﹣1，得 = ， ∴S2015= = ． 故选：D． 【点评】本题考查数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题． 　 8．不等式 的解集是（　　） A．（﹣3，﹣2） （0，+∞） B．（﹣∞，﹣3） （﹣2，0） C．（﹣3，0） 　　　　　　D．（﹣∞，﹣3） （0，+∞） 【考点】其他不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】原不等式等价于 ＞0． 把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它 的解集． 【解答】解：不等式 等价于 ＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴 上，用穿根法求得它的解集为 （﹣3，﹣2）∪（0，+∞）， 故选 A． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 　 9．等比数列的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项的和分别为 A，B，C，则（　　） A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2 D．A2+B2=A（B+C） 【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题．    【分析】利用等比数列的性质可得 ，所以 ， 进行整理可得答案． 【解答】解：由题意可得：Sn=A，S2n=B，S3n=C． 由等比数列的性质可得： ， ， 所以 ， 所以整理可得：A2+B2=A（B+C）． 故选 D． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般 以选择题的形式出现． 　 10．设 a＞b＞0，那么 a2+ 的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】基本不等式． 【专题】计算题． 【分析】先利用基本不等式求得 b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求 得问题答案． 【解答】解：因为 a＞b＞0， ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 那么 的最小值是 4， 故选 C． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题的时候注意两次基本不等式 等号成立的条件要同时成立． 　 11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1= （n∈N*）．若 bn+1=（n﹣λ）（ +1），b1=﹣λ， 且数列{bn}是单调递增数列，则实数 λ 的取值范为（　　） A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】 ，分别令 n=1，2，3，依次求出 a2= ，a3= ，a4= ，由此猜想 an= ，并用用数学归纳法证明．由 an= ．知 bn+1=（n﹣λ）（ +1）=（n﹣λ）•2n，再由 b1=﹣λ，数列{bn}是单调递增数列，能求出 λ 的取值范围． 【解答】解：∵ ， ∴a2= = ， a3= = ， a4= = ， 由此猜想 an= ． 用数学归纳法证明： ①当 n=1 时， =1，成立； ②假设 n=k 时，等式成立，即 ， 则当 n=k=1 时，ak+1= = = ，成立． ∴an= ． ∴bn+1=（n﹣λ）（ +1）=（n﹣λ）•2n， ∴b2=（1﹣λ）•2=2﹣2λ， ∵b1=﹣λ，数列{bn}是单调递增数列， ∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ， 解得 λ＜2． 故选 C． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数 学归纳法和等价转化思想的合理运用． 　 12．若实数 a，b 满足 ，则 的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用；直线与圆． 【分析】由题意作平面区域，化简 = + ，从而可知 是过原点与阴影内的点的 直线的斜率的倒数，从而解得． 【解答】解：由题意作平面区域如下， ， = + ， 是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数， 故当过点 A（ ， ）时，kOA= =3， 故此时 有最小值 ， 此时 有最大值 = + = + = ， 故选：C． 【点评】本题考查了线性规划的应用及直线的斜率的应用，同时考查了化简运算． 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分） 13．《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题 目：把 10 磅面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的 两份之和，则最小 1 份为　 　磅． 【考点】等差数列的性质． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】设此等差数列为{an}，公差为 d，可得 d=10，（a3+a4+a5）× =a1+a2， 解出即可得出． 【解答】解：设此等差数列为{an}，公差为 d， 则 d=10，（a3+a4+a5）× =a1+a2，即 =2a1+d． 解得 a1= ，d= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 　 14．如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上， 测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠BDC=45°，则 塔 AB 的高是　 　米． 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】应用题． 【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从 而有 ，在△BCD 中，CD=10， ∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理 可求 BC，从 而可求 x 即塔高 【解答】解：设塔高为 x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°， AB=x， 从而有 ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得， 可得， = 则 x=10 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转 化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行 求解． 　 15．已知{an}是由正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，且满足：an+ = （n≥1，n∈ N+），则 an=　n　． 【考点】数列递推式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】an+ = （n≥1，n∈N+），n=1 时，a1+ = ，解得 a1．n≥2 时， 平方相减可得 ﹣ =2an，化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，可 得 an﹣an﹣1=1，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵an+ = （n≥1，n∈N+）， ∴n=1 时，a1+ = ，解得 a1=1， n≥2 时， =2Sn+ ， =2 ， ∴ ﹣ =2an， 化为： ﹣ =0， ∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0， ∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1， ∴数列{an}是等差数列，首项为 1，公差为 1． ∴an=1+（n﹣1）=n． 故答案为：n． 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题． 　 16．若对于任意实数 x，|x+a|﹣|x+1|≤2a 恒成立，则实数 a 的最小值为　 　． 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】利用绝对值的几何意义求解． 【解答】解：由题意：|x+a|﹣|x+1|表示数轴上的 x 对应点到﹣a 对应点的距离减去它到﹣1 对应点的距离， 故它的最大值为|a﹣1|． 由于对于任意实数 x，有|x+a|﹣|x+1|＜2a 恒成立，可得|a﹣1|＜2a， 解得：a ． ∴实数 a 的最小值为： ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了绝对值的几何意义．属于基础题． 　 17．设 f（x）= ，则 f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）的值为　 　． 【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；探究型． 【分析】此题数值较多，探究其形式发现，此十二个数的自变量可分为六组，每组的自变量 的和为 1，故解题思路寻求到﹣﹣即验证自变量的和为 1 时，两数的函数值的和是多少． 【解答】解：令 x+y=1，则 f（x）+f（y）= + = + = + = + = （1+ ）═ × = 故 f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…+f（5）+f（6）=6× =3 故应填 3 【点评】本题考查根据题设条件探究规律的能力与意识，此类题最明显的标志是数据较多， 一一求值运算较繁，如果想到了探究其规律，则会使解题过程变得简单，请注意此类题的特 征及做题方式． 　 18．研究问题：“已知关于 x 的不等式 ax2﹣bx+c＞0，令 y= ，则 y∈（ ，1），所以不等 式 cx2﹣bx+a＞0 的解集为（ ，1）”．类比上述解法，已知关于 x 的不等式 + ＜0 的 解集为 （﹣2，﹣1） （2，3），则关于 x 的不等式 + ＜0 的解集为 　（﹣ ，﹣ ）∪（ ，1）　． 【考点】类比推理． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；推理和证明． 【分析】先明白题目所给解答的方法，然后依照所给定义解答题目即可． 【解答】解：关于 x 的不等式 + ＜0 的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3）， 用﹣ 替换 x，不等式可以化为： + ＜0， 可得﹣ ∈（﹣2，﹣1）∪（2，3）， 可得﹣ ＜x＜﹣ 或 ＜x＜1． 故答案为：（﹣ ，﹣ ）∪（ ，1）． 【点评】本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式 问题进行转化是解答本题的关键． 　 三、解答题（共 5 小题，满分 54 分） 19．（12 分）（2016 春•眉山期末）已知{an}是由正数组成的等比数列，a2=2，且 a4，3a3，a5 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{an+1﹣λan}的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n﹣1（n∈N*），求实数 λ 的值． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】方程思想；定义法；转化法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可， （2）根据等比数列的求和公式利用分组法求出 Sn 的值，利用对比法进行求解即可． 【解答】解：（1）∵a2=2，且 a4，3a3，a5 成等差数列． ∴a4+a5=2×3a3， 即 qa3+q2a3=6a3， 即 q2+q﹣6=0，得 q=2 或 q=﹣3， ∵{an}是由正数组成的等比数列， ∴q＞0， 即 q=2，则 an=a2qn﹣2=2•2n﹣2=2n﹣1． （2）∵数列{an+1﹣λan}的前 n 项和为 Sn， ∴Sn=（a2+a3+a4+…+an+1）﹣λ（a1+a2+a3+a4+…+an） = ﹣λ• =2（2n﹣1）﹣λ（2n﹣1）=（2n﹣1）（2﹣λ），  若 Sn=2n﹣1（n∈N*）， ∴Sn=2n﹣1=（2n﹣1）（2﹣λ）， 则 2﹣λ=1，则 λ=1． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据方程组法求出公比是解决本 题的关键． 　 20．已知△ABC 中，A、B、C 分别为三个内角，a、b、c 为所对边， 2 （sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC 的外接圆半径为 ， （1）求角 C； （2）求△ABC 面积 S 的最大值． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数； （2）由 C 的度数求出 A+B 的度数，用 A 表示出 B，利用三角形的面积公式列出关系式， 利用正弦定理化简后，将 sinC 的值及表示出的 B 代入，利用两角和与差的正弦函数公式化 简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为 一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值． 【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2 （a2﹣c2）=2 b（a﹣b）， 整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即 a2+b2﹣c2=ab， ∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即 a2+b2﹣c2=2abcosC， ∴2abcosC=ab，即 cosC= ， 则 C= ； （2）∵C= ，∴A+B= ，即 B= ﹣A， ∵ = =2 ，即 a=2 sinA，b=2 sinB， ∴S△ABC= absinC= absin = ×2 sinA×2 sinB× =2 sinAsinB=2 sinAsin（ ﹣A）=2 sinA（ cosA+ sinA） =3sinAcosA+ sin2A= sin2A+ （1﹣cos2A） = sin2A﹣ cos2A+ = sin（2A﹣ ）+ ， 则当 2A﹣ = ，即 A= 时，S△ABCmax= ． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函 数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 21．（1）已知 a、b∈R+，且 a+b=3，求 ab2 的最大值． （2）设函数 f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，求不等式 f（x）＞2 的解集． 【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式． 【专题】转化思想；转化法；不等式． 【分析】（1）化简得 a=3﹣b，0＜b＜3；从而可得 f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b） =﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1），从而求得； （2）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）解：∵a，b∈R+且 a+b=3， ∴a=3﹣b，0＜b＜3； f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b， f′（b）=﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1）， 故 f（b）在（0，1）上是增函数， 在（1，3）上是减函数； （2）f（x）= ， 当 x＜﹣ 时，﹣x﹣3＞2，解得：x＜﹣5，所以 x＜﹣5， 当﹣ ≤x＜2 时，3x﹣1＞2，解得：x＞1，所以 1＜x＜2， 当 x≥2 时，x+3＞2，解得：x＞﹣1，所以 x≥2， 综上所述，不等式 f（x）＞2 的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）． 【点评】本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用，考查解绝对值不等式问题，是 一道中档题． 　 22．（10 分）（2016 秋•福建期中）某工厂要制造 A 种电子装置 42 台，B 种电子装置 55 台， 为了给每台装置配上一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积 为 2m2，可作 A 外壳 3 个 B 外壳 5 个；乙种钢板每张面积为 3m，可作 A 外壳和 B 外壳各 6 个．用这两种钢板各多少张，才能使总的用料面积最小？ 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式． 【分析】根据已知条件中解：设用甲种薄金属板 x 张，乙种薄金属板 y 张，则可做 A 种的 外壳分别为 3x+6y 个，B 种的外壳分别为 5x+6y 个，由题意得出约束条件，及目标函数，然 后利用线性规划，求出最优解． 【解答】解：设用甲种钢板 x 张，乙种钢板 y 张，总的用料面积为 zm2 由题意得：z=2x+3y 且 作出可行域如图：…（4 分） 解方程组 ，得 A 点坐标为（ ， ）， z=2x+3y=24 非整数． 调整，可得最优整数解是（5，5）和（8，3）），此时 zmin=25． 答：用甲种钢板 5 张，乙种钢板 5 张或用甲种钢板 8 张，乙种钢板 3 张才能使总的用料面积 最少．…（10 分） 【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤 为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒ ③分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现 实问题中． 　 23．（14 分）（2015•温州二模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且 an+1=2an+3an﹣1（n≥2， n∈N+）． （Ⅰ）设 bn=an+1+an（n∈N+），求证{bn}是等比数列； （Ⅱ）（i）求数列{an}的通项公式； （ii）求证：对于任意 n∈N+都有 + +…+ + ＜ 成立． 【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数 列． （Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式． （ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明． 【解答】证明：（Ⅰ）已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且 an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈ N+）． 则：an+1+an=3（an+an﹣1） 即： ， 所以： ， 数列{bn}是等比数列． （Ⅱ）（i）由于数列{bn}是等比数列． 则： ， 整理得： 所以： 则： 是以（ ）为首项，﹣1 为公比的等比数列． 所以： 求得： （ii）由于： ， 所以： ， 则：（1）当 n 为奇数时， ， 当 n 为偶数时， ， 所以： = …+ + ＜1+ + + +…=1+ + ， 所以：n∈k 时，对任意的 k 都有 恒成立． 【点评】本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求 数列的通项公式，放缩法的应用．