2020高中数学 第一章 三角函数 1 8页

‎1.4.3　‎正切函数的性质与图象 学习目标：1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 ‎ 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)‎ ‎(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)‎ ‎(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)‎ ‎(4)正切函数是增函数．(　　)‎ ‎[解析]　由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．函数y＝tan的定义域为________．‎ 　[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，‎ 所以x≠＋，k∈Z 所以函数y＝tan的定义域为.]‎ ‎3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．‎ 8‎ 　[函数y＝tan 3x的最小正周期是.]‎ ‎4．函数y＝tan的单调增区间是________．‎ ，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z 得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z 即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 有关正切函数的定义域、‎ 值域问题 ‎　(1)函数y＝的值域是(　　)‎ A．(－1,1)　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)‎ ‎(2)函数y＝3tan的定义域为________．‎ ‎(3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________. ‎ ‎【导学号：84352103】‎ ‎[思路探究]　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．‎ ‎(1)B　(2) ‎(3)　[(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；‎ 当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.‎ 即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎(3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则 即－1≤tan x<1.‎ 在上满足上述不等式的x的取值范围是.‎ 又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.]‎ 8‎ ‎[规律方法]　1.求正切函数定义域的方法 ‎(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.‎ ‎(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.‎ ‎2．解形如tan x＞a的不等式的步骤 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．函数y＝logtan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. B　[由题意tan＞0，‎ 即tan＜0，‎ ‎∴kπ－＜x－＜kπ，‎ ‎∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B.]‎ ‎2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．‎ ‎[解]　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.‎ 设t＝tan，‎ 则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，‎ 8‎ 所以原函数的值域是.‎ 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 ‎　(1)函数f(x)＝tan的周期为________．‎ ‎(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．‎ ‎(3)判断下列函数的奇偶性：‎ ‎①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.‎ ‎[思路探究]　(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．‎ ‎(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．‎ ‎(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．‎ ‎(1)　(2)，k∈Z　[(1)法一：(定义法)‎ ‎∵tan＝tan，‎ 即tan＝tan，‎ ‎∴f(x)＝tan的周期是.‎ 法二：(公式法)‎ f(x)＝tan的周期T＝.‎ ‎(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]‎ ‎(3)①定义域为，关于原点对称，‎ 又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．‎ ‎②定义域为，关于原点对称，‎ 8‎ y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，‎ 又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函数．‎ ‎[规律方法]　1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：‎ ‎(1)定义法．‎ ‎(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.‎ ‎(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．‎ ‎2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：‎ 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．‎ 提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝；‎ ‎(2)f(x)＝tan＋tan. ‎ ‎【导学号：84352104】‎ ‎[解]　(1)由 得f(x)的定义域为 ，‎ 不关于原点对称，‎ 所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．‎ ‎(2)函数定义域为 ，‎ 关于原点对称，‎ 又f(－x)＝tan＋tan ‎＝－tan－tan ‎＝－f(x)，‎ 所以函数是奇函数．‎ 正切函数单调性的应用 ‎[探究问题]‎ 8‎ ‎1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？‎ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1