西藏拉萨中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 13页

拉萨中学高一年级（2022届）第一学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，共60分.‎ ‎1.考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　）‎ ‎①某高中高一年级聪明的学生      ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ‎③不小于3的正整数            ④的近似值．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①④不符合集合中元素的确定性.选C.‎ ‎2.若全集，则集合的真子集共有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数．‎ ‎【详解】由题可知，集合有三个元素．所以的真子集个数为：个．选A ‎【点睛】集合中子集的个数为，真子集的个数为-1，非空真子集的个数为-2‎ ‎3.已知集合2，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集的定义求解.‎ ‎【详解】，，则，选.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题.‎ ‎4.以下四组函数中，表示同一函数的是 A. f（x）=•，g（x）=x2–1 B. f（x）=，g（x）=x+1‎ C. f（x）=，g（x）=（）2 D. f（x）=|x|，g（t）=‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个函数表示同一函数要满足：定义域相同、对应法则相同（满足这两点时当然值域也就相同了）．依次判断两个函数的这些量是否相同即可.‎ ‎【详解】两个函数表示同一函数要满足：定义域相同、对应法则相同（当然值域也相同）．‎ f（x）=•=，g（x）=x2–1，定义域和对应法则均不同；B，f（x）==x+1，（x≠1），g（x）=x+1，定义域不同；C，f（x）==|x|（x∈R），g（x）=（）2=x（x≥0）定义域和对应法则均不同；D，f（x）=|x|，g（t）==|t|，定义域均为R相同，对应法则也相同，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的三要素，判断函数是否为同一函数主要是看两个函数的三要素是否形同；其中两个函数的对应法则相同和定义域相同则两个函数一定是同一个函数，定义域相同和值域相同则两个函数不一定为同一函数.‎ ‎5.函数的图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数图像上两个点，选出正确选项.‎ ‎【详解】由于函数经过点，只有C选项符合.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.‎ ‎6.若在区间上是增函数，那么实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数对称轴和在区间上是增函数列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于二次函数开口向上，对称轴为，在区间上是增函数，所以，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据二次函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎7.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接通过函数图象特征判断.‎ ‎【详解】是指数函数，图象不关于原点对称；是偶函数，图象关于轴对称；是奇函数，图象关于原点对称，但在定义域内不具有单调性.故排除.选.‎ ‎【点睛】本题易错之处在判断的单调性时出错.要注意该函数在和上单调递增，但在上不具有单调性.‎ ‎8.函数y=-x2-4x+1，x∈[-3,2]的值域（ ）‎ A. (-∞,5) B. [5，+∞) C. [-11，5] D. [4，5]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，函数图象的对称轴为，‎ ‎∴当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．‎ ‎∴当时，函数有最大值，且最大值为．‎ 又当时，；当时，．‎ ‎∴．‎ 故函数的值域为．选C．‎ 点睛：求二次函数在闭区间上最值的类型及解法 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．‎ ‎9.已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )‎ A. -2 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为是奇函数，所以，故选A.‎ ‎10.若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若集合，，则集合，故其真子集的个数为个，故选A.‎ 考点：1、集合的基本运算；2、集合的基本关系.‎ ‎11.已知函数的定义域为,则的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数的定义域为，所以，要使有意义，则，解得，故选B.‎ ‎12.若函数为定义在上的奇函数，且在内是减函数，又，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性和奇偶性画出的草图，由此求得的解集.‎ ‎【详解】由于函数为定义在上的奇函数，其在上递减，，所以函数在上递减，且，而，由此画出的图像如下图所示.不等等价于，也即是和对应的函数值异号，由图像可知，原不等式的解集为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.根式 __________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根式的定义求解.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】根式，故偶次根式结果为非负数.‎ ‎14.函数f（x）=的定义域是______．（要求用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根式的意义，只需4-2x≥0，解得：x≤2，得解．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则需4-2x≥0，‎ 解得：x≤2， ‎ 即函数的定义域为：（-∞，2]， ‎ 故答案为（-∞，2]．‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域求法及一元一次不等式的解法，属于简单题．‎ ‎15.函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______．‎ ‎【答案】(1,4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知过定点,由向右平移个单位，向上平移个单位即可得，故根据平移可得到定点.‎ ‎【详解】由向右平移个单位，向上平移个单位得到，过定点，则过定点.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象恒过定点以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是定点.‎ ‎16.对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，，定义函数，则下列命题正确的是_________________.‎ ‎①函数的最大值为1; ②函数的最小值为0; ‎ ‎③函数有无数个零点; ④函数是增函数.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】对于①，由题意可知f（x）＝x﹣[x]∈[0，1），∴函数f（x）无最大值，①错误；‎ 对于②，由f（x）的值域为[0，1），∴函数f（x）的最小值为0，②正确；‎ 对于③，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，‎ 所以方程f（x）有无数个根，③正确；‎ 对于④，函数f（x）在定义域R上是周期函数，不是增函数，④错误；‎ 综上，正确的命题序号是②③．‎ 故答案为②③‎ 点睛：本题考查的是取整函数的问题．在解答时要先充分理解的含义，从而可以知道针对于选项注意对新函数的最值，单调性以及周期性加以分析，即可得到答案，解答时要注意反例的应用．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子中根式化为分数指数幂，除法变乘法，再利用有理数指数幂运算法则计算.‎ ‎【详解】（1）原式.‎ ‎（2）原式=.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂的运算，是计算题型.熟练掌握并应用有理数指数幂运算法则是本题顺利解题的保证.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若集合不是空集，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将代入集合求出其解集，再利用集合运算求.‎ ‎（2）不是空集，则，则或，分别求出取交集即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎ ‎ ‎（2） ，，解得. ‎ 又 ， 或，解得： 或. ‎ 综上： .‎ ‎【点睛】本题考查集合运算以及根据集合运算求参数范围.时注意考虑两种情况，解题中最好在数轴上进行分析，以免漏掉一些情况，同时也要注意端点值是否能取等号.‎ ‎19.已知函数．‎ 求、、的值；‎ 若，求a的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所求值的取值范围分段代入对应解析式求解.‎ ‎（2）讨论的范围分段代入解析式求解.‎ ‎【详解】(1)‎ 则.‎ ‎(2)时，,解得（舍）；‎ 时，，则（舍）；‎ 时，,则.‎ 所以的值为.‎ ‎【点睛】分段函数分段求解，含参数求值问题要注意结合分段函数各段自变量的取值范围分类讨论求解，每一段所求结果要符合各段条件.‎ ‎20.已知二次函数满足， 且 ‎（1）求函数的解析式 ‎（2）求函数 在区间上的值域；‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得到的值，然后根据得到关于的方程组求解出的值，即可求出的解析式；‎ ‎（2）判断在上的单调性，计算出，即可求解出值域.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，所以；‎ 又因为，所以，‎ 所以，所以，所以，即；‎ ‎（2）因，所以对称轴为且开口向上，‎ 所以在递减，在递增，所以，‎ 又，，所以，‎ 所以在上的值域为：.‎ ‎【点睛】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式关键是：能根据已知函数类型，将条件中等量关系转化为系数方程组，求解出系数值；‎ ‎（2）求解二次函数在某个区间上的值域，可先由对称轴和开口方向分析单调性，然后求解出函数最值，即可确定出函数值域.‎ ‎21.已知函数，且．‎ ‎（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示；‎ ‎（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图（不用列表描点）；‎ ‎（3）由图象指出函数的单调区间．‎ ‎【答案】(1)f（x）=(2)见解析（3）递增区间： ，递减区间： ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可求得；（2）结合（1）中的解析式画出函数的图象即可；（3）结合图象可得函数的单调区间．‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得，‎ ‎∴ ．‎ ‎（2）由（1）中的解析式画出函数的图象如下图，‎ ‎（3）结合图象可得函数的单调递增区间为，单调递减递减区间为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的画法和图象的应用，体现了数形结合在解题中的应用，属于基础题．‎ ‎22.已知函数是定义在上的奇函数，且，‎ ‎（1）确定函数的解析式；‎ ‎（2）用定义证明在上是增函数；‎ ‎（3）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的性质，结合列方程组，解方程组求得的值，也即求得函数的解析式.‎ ‎（2）任取，通过计算，证得函数在上是增函数.‎ ‎（3）利用奇函数的性质化简不等式，在根据函数的定义域和单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）依题意得，即，得，；‎ ‎（2）证明：任取，则，，，，‎ 又，，，在上是增函数；‎ ‎（3），在上是增函数，，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性和奇偶性解函数不等式，属于中档题.‎