备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：等差、等比数列的相关知识 15页

等差、等比数列的相关知识 包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。‎ 典型例题： ‎ 例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知数列的前项和为，则=【 】‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。‎ ‎【解析】∵，∴，即。‎ ‎ 又∵，∴。∴，即。‎ ‎ ∴。∴当时，是公比为的等比数列。‎ ‎ ∴。故选B。‎ 例2. （2012年全国课标卷理5分）已知为等比数列，，，则【 】‎ ‎ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列。‎ ‎【解析】∵为等比数列，，，∴ 或。‎ ‎ 由 得，即；‎ 由 得，即。故选。‎ 例3. （2012年北京市文5分）已知为等比数列，下面结论中正确的是【 】‎ A. B. C.若a1=a3，则a1=a2 D.若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等比数列的基本概念，均值不等式。‎ ‎【解析】本题易用排除法求解：设等比数列的公比为，则 ‎ A，当时，，此时，选项错误。‎ ‎ B. 根据均值不等式，有，选项正确。‎ ‎ C. 当时，a1=a3，但a1=a2 ，选项错误。‎ ‎ D. 当时，，选项错误。‎ 故选B。‎ 例4. （2012年安徽省文5分）公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则【 】 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】等比数列。‎ ‎【解析】∵等比数列{} 的公比为2，且 =16，∴，即。‎ ‎ 又∵等比数列{}各项都是正数，∴。∴。∴。故选。‎ 例5. （2012年福建省理5分） 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为【 】‎ A．1 　　　B．‎2 ‎ 　　　C．3 　　　D．4‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等差数列的通项。‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为，根据已知条件得： 即 解得2d＝4，所以d＝2。故选B。‎ 例6. （2012年辽宁省理5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎【 】‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式。‎ ‎【解析】在等差数列中，∵，∴。故选B。‎ 例7. （2012年辽宁省文5分）在等差数列{an}中，已知，则=【 】‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等差数列的通项公式。‎ ‎【解析】∵，，‎ ‎ ∴。故选B。‎ 例8. （2012年重庆市理5分）在等差数列中，，则的前5项和=【 】‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等差数列的性质。‎ ‎【分析】利用等差数列的性质，可得，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论：‎ ‎∵等差数列中，，∴，‎ ‎∴。故选B。[来源:学科网ZXXK]‎ 例9. （2012年全国课标卷文5分）等比数列的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列。‎ ‎【解析】∵等比数列的前n项和为Sn，∴。‎ ‎ 又∵S3+3S2=0，∴，即，解得。‎ 例10. （2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和。若，，则= ‎ ‎ ▲ ； ▲ ‎ ‎【答案】1；。‎ ‎【考点】等差数列 ‎【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得 ‎ 。‎ ‎ ∴。‎ 例11. （2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，，则　　▲　　。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等差数列。‎ ‎【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得，‎ ‎ 　　　 解得，舍去负值，。‎ ‎∴。‎ 例12. （2012年广东省文5分）若等比数列满足，则 ▲ ．[来源:学§科§网]‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列的性质。‎ ‎【解析】∵是等比数列,∴。∴=。‎ 例13. （2012年江西省理5分）设数列都是等差数列，若，‎ ‎，则 ‎ ▲ 。‎ ‎【答案】35。‎ ‎【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想。‎ ‎【解析】∵数列都是等差数列，∴数列也是等差数列。‎ ‎∴由等差中项的性质，得，即，‎ 解得。‎ 例14. （2012年江西省文5分）等比数列的前项和为，公比不为1。若，且对任意的都有，则= ▲ 。‎ ‎【答案】11‎ ‎【考点】数列递推式，数列的求和。‎ ‎【解析】设等比数列的公比为。‎ ‎ ∵，∴即。‎ ‎ 解得 =－2，或 =1（舍去）。‎ ‎ ∴。‎ 例15. （2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列的性质，待定系数法。‎ ‎【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：‎ ‎，‎ 两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。‎ 例16. （2012年辽宁省理5分）已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an = ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列的通项公式。‎ ‎【解析】设等比数列｛an｝的公比为。‎ ‎∵，∴。∴，。‎ 又∵，∴。∴。‎ 解得或。‎ 又∵等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去。‎ ‎∴。‎ 例17. （2012年辽宁省文5分）已知等比数列｛an｝为递增数列.若,且 ,则数列｛an｝的公比 = ▲ .‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】等比数列的通项公式。‎ ‎【解析】∵，∴，即，解得或。‎ ‎ ∵数列为递增数列，且，∴。∴。‎ 例18.（2012年重庆市文5分）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ▲ ‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】等比数列的前项和。‎ ‎【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前项和公式，运算求得结果：。‎ 例19. （2012年山东省文12分）已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，解得。‎ ‎∴通项公式为。‎ ‎(II)由，得，即 ‎∵，∴是公比为49的等比数列。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的性质。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和题设得不等式，解出后根据条件得到是公比为49的等比数列，再求和。‎ 例20. （2012年湖北省理12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（II）若成等比数列，求数列的前n项的和。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ ‎∴由等差数列通项公式可得，或。‎ ‎∴等差数列的通项公式为，或。 ‎ ‎ （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件。‎ ‎∴ ‎ 记数列的前项和为，‎ 当时，；当时，；‎ 当时， ‎ ‎。‎ 当时，满足此式。‎ 综上， ‎ ‎【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。‎ ‎（II）对（Ⅰ）的结果验证符合成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，，分别求解即可。‎ 例21. （2012年湖南省理12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%]‎ ‎（Ⅰ）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵对任意,三个数是等差数列，‎ ‎∴，即，。‎ ‎∵a1=1，a2=5，∴。‎ ‎∴数列是首项为１，公差为４的等差数列，即。‎ ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有。‎ 由知，均大于０，于是 ‎　　　　　　　　　　　，‎ ‎　　　　　　　　　　　，‎ 即＝＝。‎ ‎∴三个数组成公比为的等比数列。‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则。‎ ‎∴得 即。‎ 由有即，从而。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列。‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列。‎ ‎【考点】等差数列、等比数列的定义、性质，充要条件的证明。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由等差数列定义可得。‎ ‎（Ⅱ）从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证。‎ 例22. （2012年湖南省文13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.‎ 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，‎ ‎。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎。‎ 整理得　。‎ 由题意，，∴，‎ 解得。‎ ‎∴该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元。‎ ‎【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。‎ ‎【解析】（Ⅰ）建立数学模型，得出与an的关系式。‎ ‎ （Ⅱ）把（Ⅰ）中的迭代，即可以解决。‎ 例23. （2012年重庆市文13分）已知为等差数列，且 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式（6分）； ‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值（7分）。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公差为，‎ 由题意知，解得。‎ ‎∴。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ‎ ‎ ∵ 成等比数列，∴，‎ 即，即 [世。纪教育网]‎ 解得 或（舍去）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】等比数列的性质，等差数列的通项和前项和公式。‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差等于，则由可得关于和的二元一次方程组，解出即可求得数列的通项公式。‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得的前项和为，再由 成等比数列，得a即可求得正整数的值。‎ 例24. （2012年陕西省文12分）已知等比数列的公比为.‎ ‎（I）若，求数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意，成等差数列 ‎【答案】解：（1）由通项公式可得，得。‎ ‎ ∴由等比数列求和公式得数列的前项和为 ‎。‎ ‎（Ⅱ）证明：∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即。‎ ‎∴对任意，成等差数列。[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质，等差数列的确定。‎ ‎【解析】（I）由 ，以及可得 ，代入等比数列的前项和公式，运算求得结果。‎ ‎（Ⅱ）对任意，化简可得=0，故成等差数列。‎ 例25.（2012年陕西省理12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列.‎ ‎【答案】解：（1）设数列的公比为（），‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得。‎ ‎∵的公比不为1，∴舍去。‎ ‎∴ 。 ‎ ‎（2）证明：∵对任意，，[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴对任意，成等差数列。‎ ‎【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（），利用成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列的公比。‎ ‎（2）对任意，可证得，从而得证。‎ 另解：对任意，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 例26.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ 例27.（2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。‎ ‎【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，。‎