2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 11页

宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期 高二年级期末考试试卷数学（理科） 试 题 ‎ 命题人 ：何星月 审题人：胡安林 考试时间：2019年1月 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.‎ ‎1．已知命题，那么是( )‎ A． B． C． D． ‎2．某市有大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出( )家.‎ A．10 B．‎18 C．2 D．20‎ ‎3．双曲线的渐近线方程是( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎4. 在区间内任取一个数，则点位于轴下方的概率为( )‎ A． B． C． D． ‎5．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积等于( )‎ A． B． C． D． ‎6．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件表示“取出的都是黑球”；事件表示“取出的都是白球”；事件表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列命题正确的是( )‎ A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件，但不是对立事件 ‎7．定义运算为执行如右上图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )‎ A． B． C． D． ‎8．已知条件：，条件：直线截圆所得弦长为，则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为( )‎ A． B． C． D． ‎10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点.若，则与的面积之比为( )‎ A． B． C． D． ‎11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )‎ A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0‎ C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3‎ ‎12．已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,使,则该双曲线的离心率范围为( )‎ A．（1,1） B． （1,1） C．（1,1] D．（1,1]‎ 一. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．甲、乙两名运动员的次测试成绩如图所示，以这次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是__________．（填“甲、乙”）‎ ‎14．椭圆的右焦点为，则以为焦点的抛物线的标准方程是__________．‎ ‎15．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用与利润额（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经计算，月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程，则的值为__________．‎ ‎16．我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个命题：‎ ‎①双曲线是黄金双曲线；‎ ‎②若，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎③若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎④若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．‎ 其中正确命题的序号为__________．‎ 一. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 17． 已知命题；方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（Ⅰ）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ 18． 已知数列的前项和为，，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ 19． 在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，线段的中垂线交于点，求线段的长.‎ 17． 某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为，求概率．‎ ‎21．如图，在多面体中，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，且直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．‎ ‎（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；‎ ‎（ii）求面积的取值范围．‎ 宜昌市葛洲坝中学2018—2019学年第一学期 高二年级期末考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C C D C B A B D D A 二、填空题：‎ ‎13．甲 14． 15．50 16．①②③④‎ ‎12．【解析】在 中，由正弦定理得，又 ，‎ 即 ， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得 ，由双曲线的几何性质，知 ，即 ， ，解得 ，又 ，所以双曲线离心率的范围是 ，故选A.‎ ‎17．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】(1)因为，所以，于是，所以.‎ ‎(2) 因为，所以，于是 ，令，则，显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前项和.‎ ‎18．（1）85%;（2）1）该玩具合格;2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由题意知， 20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为，即这批玩具的合格率约为85%.‎ ‎（2）由数据可知，5点或9点对应最大频率0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为，故该玩具合格.‎ ‎2）根据统计数据，可得以下列联表：‎ 于是的观测值 ，‎ 故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件与事件有关.‎ ‎19．（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为分别是的中点，故， ，‎ 又平面， 平面，所以平面， 平面，‎ 因为平面， 平面， ，‎ 故平面平面；因为平面，故平面.‎ ‎（2）由（1），，∴平面，‎ 又∵是中点，∴到平面的距离等于到平面的距离，‎ 依题意， ， ， ，故；‎ 故，记点到平面的距离为，因为，‎ 故，解得.‎ ‎20．（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）的定义域为， .‎ ‎①当时， ，故在内单调递减， 无极值；‎ ‎②当时，令，得；令，得.‎ 故在处取得极大值，且极大值为， 无极小值.‎ ‎（2）证法一：当时， .‎ 设函数 ， 则. 记，则.‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 由上表可知，而 ，‎ 由，知，所以，所以，即.‎ 所以在内为单调递增函数.‎ 所以当时， .‎ 即当且时， .‎ 所以当且时，总有.‎ 证法二：当时， .‎ 因为且，故只需证.‎ 当时， 成立；‎ 当时， ，即证.‎ 令，则由，得.‎ 在内， ；‎ 在内， ，‎ 所以.‎ 故当时， 成立.‎ 综上得原不等式成立.‎ ‎21．（1）（2） ‎【解析】(1) 抛物线在点处的切线方程为，它过轴上点， 椭圆的一个焦点为即又, 椭圆的方程为 ‎(2)设, 的方程为,‎ 联立 ,‎ ， 存在常数。‎ ‎22．（1）的参数方程为： ,曲线： ;（2）.‎ ‎【解析】化为直角坐标可得， ，∴直线的参数方程为： ‎∵，∴曲线的直角坐标方程： ， ‎ ‎（2）将直线参数方程代入圆方程 得： ， ∴， ，‎ ‎∴