河北省石家庄市辛集中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题 19页

‎2019-2020学年高一9月月考数学试题 一、选择题 ‎1.下列说法正确的有( )‎ ‎(1)很小的实数可以构成集合;‎ ‎(2)集合与集合是同一个集合;‎ ‎(3) 这些数组成的集合有5个元素;‎ ‎(4)任何集合至少有两个子集.‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合元素的特征，集合中元素的含义，子集的定义，判断命题的子集即可．‎ ‎【详解】（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，显然（1）不正确．‎ ‎（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}不是同一个集合，前者是函数的值域，后者是点的集合；所以不正确．‎ ‎（3）不正确；因为，，集合中的元素是互异的，‎ 所以说这些数组成的集合有5个元素不正确，‎ ‎（4）例如空集，只有一个子集．所以任何集合至少有两个子集是不正确的；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假，集合概念的理解与应用，是基本知识的考查．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】 ;‎ 因此，选C.‎ ‎【点睛】集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎3.集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图阴影部分表示的集合为(　　) ‎ A. {x|x≥1} B. {x|x≥2}‎ C {x|1≤x≤2} D. {x|1≤x＜2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可知A 由得 由题中图形可知：阴影部分表示的集合为 故答案选 ‎4.不等式 和 的解集分别为和，且，则实数取值范围是( )‎ A. (0,1) B. [0,1] C. [-1,1] D. (-1,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式x2﹣x﹣2≥0与不等式x2﹣（‎2a+1）x+a2+a＞0，求出集合A、B；‎ 再由A⊆B，列出关于a的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】解不等式x2﹣x﹣2≥0，得 x≤﹣1或x≥2，‎ ‎∴A＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；‎ 解不等式x2﹣（‎2a+1）x+a2+a＞0，得 x＜a或x＞a+1，‎ ‎∴B＝（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；‎ 又A⊆B，‎ ‎∴，‎ 解得﹣1＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合基本关系的应用问题，是基础题目．‎ ‎5.下列四种说法正确的有( )‎ ‎①函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了；‎ ‎②f(x)＝是函数；‎ ‎③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；‎ ‎④f(x)＝ 与是同一函数．‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的三要素：定义域和对应法则、值域，对于①，可举y＝x，y＝x3，即可判断；对于②，求出x满足的条件，即可判断；对于③，考虑定义域N，即可判断；对于④，考虑函数的定义域，即可判断．‎ ‎【详解】①，函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系不一定确定，‎ 比如函数的定义域和值域均为R，而函数的对应关系可为y＝x，y＝x3，故①错误；‎ ‎②，由x﹣3≥0，且2﹣x≥0，可得x∈∅，则f（x）不是函数，故②错误；‎ ‎③，由于N为自然数集，函数y＝2x（x∈N）的图象是一些点，故③错误；‎ ‎④，f（x）即f（x）＝x，（x≠0），而g（x）＝x，（x∈R），两个函数的定义域不同，不是同一函数，故④错误．‎ 其中说法正确的个数为0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是函数的定义和图象，考查运算能力和推理能力，属于基础题．‎ ‎6.已知，则函数( )‎ A. 有最小值，无最大值 B. 有最小值 ，最大值1‎ C. 有最小值1，最大值 D. 无最小值和最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称轴判断f（x）在[0，]上的单调性，根据单调性判断最值．‎ ‎【详解】f（x）＝x2+x+1＝（x）2，‎ ‎∴f（x）在区间[0，]上是增函数，‎ ‎∴f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的最值，涉及到函数的单调性，属于基础题．‎ ‎7.设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.设函数，则使得的自变量的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当时，令，即或，解得或；当时，令，解得，综上所述，使得的自变量的取值范围为，故选A．‎ 考点：分段函数的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键．‎ ‎9.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)‎ A. 在[－7,0]上是增函数，且最大值是6‎ B. 在[－7,0]上是减函数，且最大值是6‎ C. 在[－7,0]上增函数，且最小值是6‎ D. 在[－7,0]上是减函数，且最小值是6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，‎ ‎∴函数在[-7，0]上是减函数.‎ 又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，‎ ‎∴最大值为f(7)=f(-7)=6.‎ 故选B.‎ ‎10.已知函数是偶函数，则在上此函数 A. 是增函数 B. 不是单调函数 C. 是减函数 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数为偶函数求得，进而由抛物线的性质可得解.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，所以函数图像关于轴对称，‎ 即，解得.‎ 所以为开口向下的抛物线，所以在上函数单调递增.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质及二次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎11.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.‎ 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（2x﹣1）的定义域即可求出f（x）的定义域为（﹣1，1），从而得出函数f（1﹣3x）需满足﹣1＜1﹣3x＜1，解出x的范围即可．‎ ‎【详解】∵f（2x﹣1）的定义域为（0，1），‎ ‎∴0＜x＜1，‎ ‎∴﹣1＜2x﹣1＜1，‎ ‎∴f（x）的定义域为（﹣1，1），‎ ‎∴f（1﹣3x）需满足﹣1＜1﹣3x＜1，解得，‎ ‎∴f（1﹣3x）的定义域为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数定义域的定义及求法，已知f[g（x）]的定义域求f（x）的定义域的方法，以及已知f（x）的定义域求f[g（x）]的定义域的方法．‎ ‎13.若满足，且在(－∞，0)内是增函数，又，则 的解集是(　　)‎ A. (－2,0)∪(0,2) B. (－∞，－2)∪(0,2)‎ C. (－∞，－2)∪(2，＋∞) D. (－2,0)∪(2，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于本题是一个奇函数且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f（﹣2）＝0，可以得出函数的图象特征．由图象特征求解本题中的不等式的解集即可．‎ ‎【详解】∵f（﹣x）＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f（﹣2）＝0，‎ ‎∴f（2）＝0，且当x＜﹣2或0＜x＜2时，函数图象在x轴下方，当x＞2与﹣2＜x＜0时函数图象在x轴上方 ‎∴xf（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查根据函数的性质推测出函数图象的特征，利用函数图象的特征解不等式，由此特征结合函数的图象不难得出不等式的解集．由此可以看出求解本题的关键是把函数图象特征研究清楚，以形助数．‎ ‎14.已知是偶函数，且时.若时，的最大值为，最小值为，则（）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，故得到时，的最大值和最小值，与时的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；‎ 根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为，，故最大值为，此时 故答案为B.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．对于函数的奇偶性，主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使得问题简化.‎ 二、填空题 ‎ ‎15.函数的定义域为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可看出，要使得f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．‎ ‎【详解】要使f（x）有意义，则，解得x≥1，‎ ‎∴f（x）的定义域为[1，+∞）．‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎【点睛】考查函数定义域的定义及求法，一元二次不等式的解法，以及集合的表示法．‎ ‎16.已知是一次函数，，，则的解析式为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设f（x）=kx+b，k≠0，由已知得(4k+2b)-(3k+3b)=52b-(-k+b)=1，由此能求出f（x）=3x-2．‎ ‎【详解】∵f(x)是一次函数,‎2f(2)−‎3f(1)=5,‎2f(0)−f(−1)=1，‎ ‎∴设f(x)=kx+b，k≠0，‎ 则f(2)=2k+b,f(1)=k+b,f(0)=b,f(−1)=−k+b，‎ 因为，，‎ ‎，‎ 解得k=3，b=−2，‎ ‎∴f(x)=3x−2.‎ 故答案为：3x−2.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用待定系数法求一次函数的解析式，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎17.在区间上单调递减，则a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若在区间上单调递减，可得对称轴和区间的位置关系，进而可列不等式解得答案．‎ ‎【详解】解：函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线， 若在区间上单调递减， 则， ‎ 解得：， 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键 ‎18.函数的值域为_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t，则x且t≥0，然后结合二次函数的性质即可求解．‎ ‎【详解】令t，则x且t≥0，‎ ‎∴y＝4x﹣52t2+t+1，其图象开口向上，对称轴t，‎ ‎∴在[0，+∞）上单调递增，故t＝0时，函数有最小值1，值域[1，+∞），‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用换元法求解函数的值域及二次函数值域的求解，属于基础试题．‎ ‎19.已知是定义在R上奇函数，满足，则_________________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x）是R上的奇函数，以及f（1﹣x）＝f（1+x）即可得出f（3）＝﹣f（1），f（4）＝﹣f（2），从而求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．‎ ‎【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 且f（1﹣x）＝f（1+x），∴函数f（x）关于x=1对称，‎ ‎∴f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1），f（4）＝f（﹣2）＝﹣f（2），‎ ‎∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】考查奇函数的定义及对称性的应用，以及已知函数求值的方法．‎ ‎20.已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），由函数奇偶性的定义分析可得g（x）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，g（x）＝f（x）+x2，‎ 则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g（x+2），‎ 若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g（x）为偶函数，‎ 又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，‎ 则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＜|x+2|⇒（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，‎ 即不等式的解集为（，+∞）；‎ 故答案为（，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于中档题．‎ 三．解答题 ‎21.已知集合，，，全集为实数集．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）如果，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），或 ‎ （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据并集、交集和补集的概念和运算，求得，.‎ ‎（2）利用图像，结合，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为 ，，‎ 所以，‎ 或．‎ 或 ‎（2）如图，‎ 由图知，当时，‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎22.若函数的定义域和值域都为，求的值.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质，先确定f（x）在区间[1，b]上为增函数，结合单调性即可求解b．‎ ‎【详解】∵开口向上，对称轴x＝1，‎ ‎∴f（x）在区间[1，b]上为增函数，因为值域为[1，b]，‎ ‎∴，或b＝3，‎ 又因为b＞1，‎ ‎∴b＝3．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数值域的求解，解题的关键是确定已知区间上的单调性．‎ ‎23.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）作出函数的图象并求出单调增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）图象见解析，单调递增区间和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，得，求出的表达式，然后利用奇函数的定义得出在时的表达式，由此可得出函数的解析式；‎ ‎（2）根据（1）中函数的解析式作出函数的图象，并结合图象得出该函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 当时，，则.‎ 因为函数是上奇函数，则.‎ 因此，；‎ ‎（2）函数的图象如下图所示：‎ 由图象可知，函数的单调递增区间为和.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数解析式的求法、函数图象的作法以及利用函数图象写出函数的单调区间，属于中等题.‎ ‎24.已知是定义在上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（2）＝1．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解决抽象函数问题的关键是在充分理解函数及其相关性质的概念的基础上，利用相关概念进行求解．（1）关键是对条件等式f（xy）＝f（x）＋f（y）的理解，这是一个恒等式，从函数值的概念的角度讲，任何两个自变量的乘积的函数值等于它们各自函数值的和，所以可以先令求出，然后先令求出；（2）先将已知不等式等价转化为，然后利用函数是上的增函数求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得…10分 ‎（2）原不等式可化为 由函数是上的增函数得，‎ 解得．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎25.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)设函数，求在区间上的最小值 ‎【答案】(1) ,(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；‎ ‎（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．‎ ‎【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，‎ ‎∴b＝1； ‎ 又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），‎ ‎∴1+b+c＝13，∴c＝11；‎ ‎∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．‎ ‎（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|‎ ‎＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|‎ ‎＝（x﹣2）•|x|‎ ‎，‎ 画出函数图象，如图：‎ 令，解得或（舍）‎ ‎∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；‎ 当时，g（x）min＝﹣1；‎ 当时，．‎ ‎∴综上，H（t）．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．‎ ‎26.已知函数的定义域为，对于任意的，都有且当时，，若.‎ ‎(1)求证：为奇函数；‎ ‎(2)求证: 是上的减函数；‎ ‎(3)求函数在区间[-2,4]上的值域.‎ ‎【答案】(1)见解析,(2)见解析,(3) [-8,4]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用特殊值法，求证f（0）＝0，令y＝﹣x即可求证；‎ ‎（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），利用定义法进行证明；‎ ‎（3）由函数为减函数，求出f（﹣2）和f（4）继而求出函数的值域，‎ ‎【详解】（1）∵f（x）的定义域为R，令x＝y＝0，则f（0+0）＝f（0）+f（0）＝‎2f（0），‎ ‎∴f（0）＝0．‎ 令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），‎ 即f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0．‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．‎ ‎（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，‎ 则f（x2）﹣f（x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2﹣x1）．‎ 又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，‎ ‎∴f（x2）﹣f（x1）＜0，‎ 即f（x1）＞f（x2）．‎ 故f（x）是R上的减函数．‎ ‎（3）∵f（﹣1）＝2，∴f（﹣2）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝4．‎ 又f（x）为奇函数，∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣4，‎ ‎∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣8．‎ 由（2）知f（x）是R上的减函数，‎ 所以当x＝﹣2时，f（x）取得最大值，最大值为f（﹣2）＝4；‎ 当x＝4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）＝﹣8．‎ 所以函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．‎