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吉林省实验中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ).
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；恰有2个白球
D．至少有一个白球；都是红球
【答案】C
【解析】
试题分析：（1）至少有1个白球的事件中包含2个都是白球的事件,所以A选项中两个事件不互斥;
（2）至少有1个白球，至少有1个红球都含有1个白球1个红球这种可能,所以B选项中两个事件不互斥;
（3）至少有1个白球的事件包含1个白球1个红球和2个白球,所以至少有1个白球的事件和都是红球的事件既是互斥事件又是对立事件;
（4）恰有1个白球，恰有2个白球这两个事件没有公共部分,而且从口袋内任取2个球还有可能取到2个红球.所以恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件但不是对立事件.
综上可知C正确.
考点：互斥事件;对立事件.
2．对命题“”的否定，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由特称命题的否定为全称命题，即可得解.
【详解】
由于由特称命题的否定为全称命题，
所以，命题“”的否定为：.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了含有量词的否定，特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题，属于基础题.
3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m的值为 （ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，由于降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，求出关于的线性回归方程 ，由于x的平均值为，，由于方程过样本中心点，在可知在直线上，故可知得到m的值为3，故答案为A.
考点：线性回归方程
点评：主要是考查了线性回归方程的简单运用，属于基础题。
4．在区间［－1，1］上随机取一个数x，则的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过绝对值不等式，再利用几何概型的计算公式，长度比即为所求.
【详解】
由，可得.
在区间［－1，1］上随机取一个数x，若，则.
概率为长度比：.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了长度型几何概型的求解，属于基础题.
5．从2018名学生中选取50名学生参加某一活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2018人中，每个人入选的概率 （ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
【答案】C
【解析】
【分析】
由简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，即可得解.
【详解】
因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，即从2 018名学生中选取50
名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为，故选C.
【点睛】
本题主要考查了抽样的等可能性，属于基础题.
6．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 （ ）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
【答案】C
【解析】
【分析】
通过算没有限制时的总数减去，全是男生或全是女生的情况数即可得解.
【详解】
从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况.
若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况.
所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有
故选C.
【点睛】
本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题.
7．方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，结合题意可得，再根据不等式的包含关系即可得解.
【详解】
方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，
解得.
易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及充分不必要性的判断，属于基础题.
8．长方体中，，E为的中点，则异面直线与AE所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
9．设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率分别为
，则的值为 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出F,A,B点坐标，设，然后直接用坐标表示斜率即可得解.
【详解】
点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），可设为.
过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，不妨设.
则.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的几何意义及利用点坐标表示斜率，考查了学生的运算能力，属于中档题.
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为
，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
11．若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件可得椭圆为，为简化计算，令，直线与椭圆联立，设，根据条件可得，再由结合韦达定理求解即可.
【详解】
根据题意可知，所以.
离心率为，解得
得椭圆.
过右焦点F且斜率为的直线为：，即.
为简化计算，令，则.
由，联立可得：. ①
设，由可得.
由①可得：.
因为，所以.
解得，所以，由，可得.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，通过韦达定理解决方程问题，属于中档题.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．二项式的展开式中，的系数为_______________．
【答案】112
【解析】
【分析】
由二项展开的通项公式，令解得代入即可得解.
【详解】
二项式的展开式的通项公式为：.
令，解得.此时有：.
故答案为：112.
【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
14．茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由平均数可得总数，从而可得未知数，由中位数是位于从小到大排序的中间位置，从而得y，即可得解.
【详解】
由茎叶图知，甲的平均数为17时，总数为：.
所以得未知数为：，所以；
乙的中位数为17时，可知；.
所以.
故答案为：10.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的平均数和中位数的计算，属于基础题.
15．如图所示，空间四边形OABC中，点M为OB的中点，N为AC的中点．设＝a，＝b，＝c，若以向量a、b、c为一组基底，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用向量的加减运算即可求解.
【详解】
因为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法运算，属于基础题.
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．
【详解】
由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵PF1PF2，
∴，③
①2+②2,得，④
将④代入③,得，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.
评卷人
得分
三、解答题
17．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格．某校有800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求初赛分数在区间内的频率；
（Ⅱ）求获得复赛资格的人数；
（Ⅲ）据此直方图估算学生初赛成绩的平均数．
【答案】（Ⅰ） 0.3（Ⅱ）520人（Ⅲ）97分．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图的矩形面积和为1即可得解；
（Ⅱ）先计算成绩大于90的矩形面积，即为频率，再乘以总数即可得解；
（Ⅲ）由每一个矩形的面积乘以中点横坐标求和即可得平均数.
【详解】
（Ⅰ）由题意知之间的频率为： ；
（Ⅱ），获得复赛资格的人数为人．
（Ⅲ）
所以学生初赛成绩的平均数约为97分．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.
18．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，BD＝，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设AC、BD交于点O，由中位线定理易得，从而得证；
（Ⅱ）以点O为原点建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量为，利用从而得解.
【详解】
（Ⅰ）设AC、BD交于点O，连接OM．
因为四边形ABCD为矩形，所以点O是AC的中点，
因为M为PA的中点，所以，
，．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由题意可得，，
，则．
设平面PAC的法向量为，则，
令，则，即，
则，
所以直线BM与平面PAC所成角的正弦值为．
【点睛】
本题主要考查了线面平行的证明及利用空间向量求解线面角，考查了学生的空间想象力及运算能力，属于中档题.
19．某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有8人
8
8
4
2
1
1
选考方案待确定的有6人
4
3
0
1
0
0
女生
选考方案确定的有10人
8
9
6
3
3
1
选考方案待确定的有6人
5
4
1
0
0
1
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量
，求．
【答案】（Ⅰ）人（Ⅱ）（Ⅲ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）用样本估计总体的思想，先计算样本的频率，再乘以总数即可得解；
（Ⅱ）分别求出男生和女生有历史的概率，相乘即可；
（Ⅲ）先分析出这8名男生的选考情况，再利用古典概型求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人．该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．
（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为，所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．
（Ⅲ）由数据可选，选考方案确定的男生中有4人选择物理，化学和生物；有2人选择物理，化学和历史，有1人选择物理化学和地理；有1人选择物理，化学和政治．
．
【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
20．如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过证明PA⊥AE和AE⊥AD，可证得AE⊥平面PAD，从而得证；
（Ⅱ），以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，分别求面AEF和面AFC的法向量，利用法向量求解二面角即可.
【详解】
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以 AE⊥PD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4， 0），P（0，0，4），E（2，0，0），F（），
所以=（2，0，0），＝（）
设平面AEF的法向量为=（），
则，因此
取，则=（0，2，—1），
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的法向量．
又（—2，6，0），所以cos＜，＞=．
因为二面角E—AF—C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定及性质，利用空间向量求解二面角，考查了学生的空间想象力和运算能力，属于中档题.
21．已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦MN的长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过点的直线与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E（,0），求的取值范围．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）设圆心C（x，y），，过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，由垂径定理可得|CP|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用坐标表示距离即可得解；
（2）设直线的方程为，由直线与抛物线联立求得AB的中垂线，令y=0，得，从而得范围.
【详解】
（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=2，
∴|CP|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴即，化简得
（2）设直线的方程为中点，
则得,所以，
则线段AB的中垂线的方程为，则，
所以的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了直接法求轨迹方程及直线与抛物线的位置关系，用到了设而不求的思想，考查了学生的运算能力，属于中档题.
22．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出的方程；若不能，说明理由．
【答案】⑴见解析⑵四边形OAPB能为平行四边形，或．
【解析】
【分析】
（1）设直线()，，，，通过直线与椭圆联立及坐标表示向量即可证得结论；
（2）由⑴得OM的方程为．设点P的横坐标为，通过直线与椭圆联立解得，根据题意有，解方程即可得解.
【详解】
⑴设直线()，，，，
将代入中，得，
故，，
于是直线OM的斜率，即，所以命题得证．
⑵四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线过点，所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是且．
由⑴得OM的方程为．设点P的横坐标为．
由，得，即．
将点的坐标代入直线的方程得，因此，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．
于是，
解得，．所以当四边形OAPB为平行四边形时，l的方程为或．
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想将几何问题坐标化，考查了学生的运算能力，属于中档题.