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2020届二轮复习函数的单调性课件（69张）（全国通用） 69页

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2020届二轮复习函数的单调性课件（69张）（全国通用）

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【 知识梳理 】 1. 增函数、减函数 定义 : 在函数 y=f(x) 的定义域内某个区间 A 上的任意两个自变量 x 1 ,x 2 : (1) 增函数 : 当 x 1 f(x 2 ) 2. 单调性 若函数 y=f(x) 在定义域的某个子集上是 _______ 或 _______, 则称函数 y=f(x) 在这个子集上具有单调性 . 增加的 减少的 3. 函数的最值 前提 设函数 y=f(x) 的定义域为 D, 如果存在实数 M 满足 条件 (1) 对于任意 x∈D, 都有 ________; (2) 存在 x 0 ∈D, 使得 _______. (3) 对于任意 x∈D, 都有 ________; (4) 存在 x 0 ∈D, 使得 _______. 结论 M 为最大值 M 为最小值 f(x)≤M f(x 0 )=M f(x)≥M f(x 0 )=M 【 常用结论 】 函数单调性的常用结论 (1) 对∀ x 1 ,x 2 ∈D(x 1 ≠x 2 ), >0⇔f(x) 在 D 上是 增加的 , <0⇔f(x) 在 D 上是减少的 . (2) 对勾函数 y=x+ (a>0) 在 (-∞,- ] 和 [ ,+∞) 上是增加的 , 在 [- ,0) 和 (0, ] 上是减少的 . (3) 在区间 D 上 , 两个增函数的和仍是增函数 , 两个减函 数的和仍是减函数 . (4) 函数 f(g(x)) 的单调性与函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的单 调性的关系是“同增异减” . 【 基础自测 】 题组一 : 走出误区 1. 判断正误 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 若定义在 R 上的函数 f(x), 有 f(-1)f(x 2 ), 而不是区间上的两个特殊值 . (2)×. 单调区间是定义域的子区间 , 如 y=x 在 [1,+∞) 上是增加的 , 但它的递增区间是 R, 而不是 [1,+∞). (3)×. 多个单调区间不能用 “ ∪ ” 符号连接 , 而应用 “ , ” 或 “ 和 ” 连接 . (4)√. 由单调性的定义可知是正确的 . 2. 若函数 f(x)=|2x+a| 在 [3,+∞) 是增加的 , 则 a 的值为 ________.  【 解析 】 由图像 ( 图略 ) 易知函数 f(x)=|2x+a| 在 上是增加的 , 令 =3, 得 a=-6. 答案 : -6 3. 函数 f(x)= 的最大值为 ________.  　　　　　　　　　　 【 解析 】 当 x≥1 时 , 函数 f(x)= 为减少的 , 所以 f(x) 在 x=1 处取得最大值 , 为 f(1)=1; 当 x<1 时 , 易知函数 f(x)=-x 2 +2 在 x=0 处取得最大值 , 为 f(0)=2. 故函数 f(x) 的最大值为 2. 答案 : 2 题组二 : 走进教材 1.( 必修 1·P39· 练习 ·T2 改编 ) 函数 y= 在 [2,3] 上的最小值为 ( 　　 ) A.2 B. C. D.- 【 解析 】 选 B. 因为 y= 在 [2,3] 上是减少的 , 所以 y min = 2.( 必修 1·P58·T1 改编 ) 若函数 y=x 2 -2ax+1 在 (-∞,2] 上是减少的 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,2] 【 解析 】 选 C. 函数 y=x 2 -2ax+1 图像的对称轴为 x=a, 要使该函数在 (- ∞ ,2] 上是减少的 , 需 a≥2. 3.( 必修 1·P56·T8 改编 ) 设定义在 [-1,7] 上的函数 y=f(x) 的图像如图所示 , 则函数 y=f(x) 的增区间为 ________.  【 解析 】 由图可得 ,x∈[-1,1] 时从左向右图像上升 , x∈[1,5] 时从左向右图像下降 .x∈[5,7] 时 , 从左向右图像上升 . 所以函数 f(x) 的增区间为 [-1,1],[5,7]. 答案 : [-1,1],[5,7] 考点一　函数的单调性 ( 区间 ) 【 题组练透 】 1.f(x)= 在 ( 　　 ) 　　 A.(-∞,1)∪(1,+∞) 上是增加的 B.(-∞,1)∪(1,+∞) 上是减少的 C.(-∞,1) 和 (1,+∞) 上是增加的 D.(-∞,1) 和 (1,+∞) 上是减少的 【 解析 】 选 C.f(x) 的定义域为 {x|x≠1}. 又 f(x)= = -1, 根据函数 y=- 的单调性及有关性质 , 可知 f(x) 在 (- ∞ ,1) 和 (1,+ ∞ ) 上是增加的 . 2. 下列函数中 , 满足“∀ x 1 ,x 2 ∈(0,+∞) 且 x 1 ≠x 2 , (x 1 -x 2 )·[f(x 1 )-f(x 2 )]<0” 的是 ( 　　 ) A.f(x)=2 x B.f(x)=|x-1| C.f(x)= -x D.f(x)=ln(x+1) 【 解析 】 选 C. 由 (x 1 -x 2 )·[f(x 1 )-f(x 2 )]<0 可知 ,f(x) 在 (0,+ ∞ ) 上是减少的 ,A 、 D 选项中 ,f(x) 为增函数 ;B 中 ,f(x)=|x-1| 在 (0,+ ∞ ) 上不单调 , 对于 f(x)= -x, 因为 y= 与 y=-x 在 (0,+ ∞ ) 上是减少的 , 因此 f(x) 在 (0,+ ∞ ) 上是减少的 . 3. 函数 y=f(x)(x∈R) 的图像如图所示 , 则函数 g(x)=f(log a x)(00,20, 从而 f(x 2 )-f(x 1 )>0, 即 f(x 2 )>f(x 1 ), 故当 a∈(1,3) 时 ,f(x) 在 [1,2] 上是增加的 . 方法二 :( 导数法 ) 因为 f′(x)=2ax- 因为 1≤x≤2, 所以 1≤x 3 ≤8, 又 10, 所以 f′(x)>0, 所以函数 f(x)=ax 2 + ( 其中 10,x>0), 若 f(x) 在 上的值域为 , 则 a=________. 世纪金榜导学号  【 解析 】 (1) 方法一 :( 换元法 ) 令 t= , 且 t≥0, 则 x=t 2 +1, 所以原函数变为 y=t 2 +1+t,t≥0. 配方得 又因为 t≥0, 所以 y≥ + =1. 故函数 y=x+ 的最小值为 1. 方法二 : 因为函数 y=x 和 y= 在定义域内均为增加的 , 故函数 y=x+ 在其定义域 [1,+∞) 内为增加的 , 所以当 x=1 时 y 取最小值 , 即 y min =1. 答案 : 1 故函数的值域为 答案 : (3) 由反比例函数的性质知函数 f(x)= (a>0,x>0) 在 上是增加的 , 所以 答案 : 【 误区警示 】 利用换元法解题时易漏掉求新换元的范围而将所求值域扩大致错 . 【 规律方法 】 求函数最值的常用方法 (1) 单调性法 : 先确定函数的单调性 , 再由单调性求最值 . (2) 图像法 : 先作出函数的图像 , 再观察其最高点、最低点 , 求出最值 . (3) 换元法 : 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 , 再用相应的方法求最值 . (4) 分离常数法 : 对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域 , 变成只有分子或分母有变量的情况 , 再利用函数的观点求值域 . 【 对点训练 】 1. 已知函数 f(x)= 则 f(x) 的最小值是 ________.  【 解析 】 当 x≤1 时 ,f(x) min =0, 当 x>1 时 ,f(x) min =2 -6, 当且仅当 x= 时取到最小值 , 又 2 -6<0, 所以 f(x) min =2 -6. 答案 : 2 -6 2. 函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域为 ________.  【 解析 】 函数 y= 作出函数的图像如图 所示 . 根据图像可知 , 函数 y=|x+1|+|x-2| 的 值域为 [3,+∞). 答案 : [3,+∞) 3. 函数 y= 的值域为 ________.  【 解析 】 因为 ≠ 0, 所以 3+ ≠3, 所以函数 y= 的值域为 {y|y∈R 且 y≠3}. 答案 : {y|y∈R 且 y≠3} 考点三　函数单调性的应用 【 明考点 · 知考法 】 函数单调性的应用多以选择题或填空题的形式呈现 , 试题难度一般较大 . 命题角度 1 　比较大小问题 【 典例 】 已知函数 f(x) 的图像关于直线 x=1 对称 , 当 x 2 > x 1 >1 时 ,[f(x 2 )-f(x 1 )](x 2 -x 1 )<0 恒成立 , 设 a= , b=f(2),c=f(e), 则 a,b,c 的大小关系为 世纪金榜导学号 ( 　　 ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 【 尝试解答 】 选 D. 因为 f(x) 的图像关于直线 x=1 对称 . 由此可得 由 x 2 >x 1 >1 时 ,[f(x 2 )-f(x 1 )](x 2 -x 1 )<0 恒成立 , 知 f(x) 在 (1,+∞) 上是减少的 . 因为 1<2< >f(e), 所以 b>a>c. 【 状元笔记 】 比较函数值大小的方法 : 将自变量转化到同一个单调区间内 , 然后利用函数的单调性解决 . 命题角度 2 　解函数不等式问题 【 典例 】 f(x) 是定义在 (0,+∞) 上的单调增函数 , 满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, 当 f(x)+f(x-8)≤2 时 ,x 的取值范围是 世纪金榜导学号 ( 　　 ) A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8) 【 解析 】 选 B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由 f(x)+f(x-8) ≤2, 可得 f[x(x-8)]≤f(9), 因为 f(x) 是定义在 (0,+∞) 上的增函数 , 所以有 解得 80 的解集为 ______.  【 解析 】 因为 y=f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 y=f(x) 在 (0,+∞) 上是增加的 . 所以 y=f(x) 在 (-∞,0) 上也是增加的 , 由 f =0, 知 f =-f =0. 故原不等式 >0 可化为 >f 或 f < 或 - < <0, 解得 0f(h(x)) 的形式 , 再根据函数的单调性去掉“ f”, 得到一般的不等式 g(x)>h(x)( 或 g(x)0, 那么实数 m 的取值范围是 ( 　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 f(x) 是定义域为 (-1,1) 的奇函数 , 所以 -10 可转化为 f(m-2)>-f(2m-3), 所以 f(m-2)>f(-2m+3), 所以 所以 1

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