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- 2024-02-19 发布
甘谷一中2019--2020学年第一学期高二年第二次月考
数学（理科）试卷
（测试时间：120分钟满分150分）
一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）
1.已知命题，其中正确的是（ ）
A. 使 B. 使
C. 使 D. 使
【答案】D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定为全称命题即可得解
【详解】命题，为特称命题，其否定为全称命题，
所以使.
故选D.
【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，由全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题即可得解.
2.若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意，可设抛物线的方程为，
因为其准线方程为，焦点坐标为，
解得，所以抛物线的方程为，故选D．
3.“a>1”是“<1”的 ( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
选A.因为a>1,所以<1.
而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.
4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.
考点：空间中两点之间的距离
点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．
5.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】
分析】
根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．
【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．
故选C．
【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题．
6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.
【详解】.
【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.
7.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A. （x≠0） B. （x≠0）
C. （x≠0） D. （x≠0）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【详解】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选B．
【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．
【详解】抛物线中，，∴， 故选B．
【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．
9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.
【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，
化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知
即解得＜k＜－1.
答案：D.
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.
10.试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．
过点P作于点，由定义可得,
所以，
由图形可得，当三点共线时，最小，此时．
故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．
点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
11.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．
【详解】
由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：
根据长方体得性质可得：平面ABCD．
因为，，
所以，，
根据等面积可得：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．.
12.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过 且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆的对称性得到，结合化简即可求解.
【详解】由椭圆对称性质，可知平分角，则，由于且代入到，可求得．
故本题正确答案为D．
【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，属于中档题.
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.
【答案】2．
【解析】
试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．
考点：空间三点共线．
14.已知双曲线一条渐近线是，则该双曲线的离心率
为___________.
【答案】
【解析】
因为双曲线的一条渐近线是
所以,∴
故答案为
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】
【详解】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.
16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在中，“”是“三个角成等差数列”充要条件.
③是的充要条件；
④命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是“若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0”
以上说法中，判断错误的有___________.
【答案】③
【解析】
【分析】
由四种命题的关系及充分必要条件，利用原命题与其逆否命题同真同假，命题的逆否命题的形式等知识逐一检验即可.
【详解】解：对于①，因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，所以一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；即①正确，
对于②，因为在中，“”的充要条件为“”，即“”,即“三个角成等差数列”，故②正确；
对于③，由，不妨取，不能推出，即不是的充要条件，即③错误；
对于④，由命题的逆否命题的形式可得，先将条件与结论互换，再同时否定即可，即命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是“若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0”，即④正确，
综上：以上说法中，判断错误的有③，
故答案为：③.
【点睛】本题考查了四种命题的关系及充分必要条件，重点考查了简易逻辑，属基础题.
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据命题和的真假性，逐个判断.
【详解】因为假，并且为真，故假，而真
即不存在两个不等的负根，且无实根.
所以，即，
当时，不存在两个不等的负根，
当时，存在两个不等的负根.
所以的取值范围是
【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.
【此处有视频，请去附件查看】
18.
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．
（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．
【详解】解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．
19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线和平面的所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；
求出平面的法向量和，利用向量法能求出直线和平面的所成角的正弦值
详解】解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）
∴，
∴COS
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为
（2）设平面ABC的法向量为 则
知
知取，
则
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为
20.在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）直线方程与抛物线方程联立，消去后利用韦达定理判断的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题；
（2）根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.
【详解】（1）证明：设过点的直线交抛物线于点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，直线与抛物线相交于，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，
，得，
则，
又因为，
所以，
综上所述，命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）逆命题是：“设直线与抛物线＝2相交于A、B两点，如果＝3，那么该直线过点”，该命题是假命题，
例如：取抛物线上的点，此时＝3，直线AB的方程为，而T（3，0）不在直线AB上.
【点睛】该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，属于简单题目.
21.如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，再利用向量的数量积运算，证明线线垂直，从而证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用数量积求向量的夹角即可得解.
【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又AP∩AC=A，
故BD⊥平面PAC.
（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴，故平面PCD的法向量可取为,
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得，
故二面角P—CD—B余弦值的大小为.
【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角的余弦值，重点考查了运算能力，属中档题.
22.如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（Ⅱ）根据题意得到的方程，
与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出,.
试题解析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦点坐标为.
（Ⅱ）
将与联立，消去，得
.