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- 2024-02-19 发布
奉新一中2018届高三上学期第二次月考数学试卷(文)
命题人：廖长春
(考试时间:120分钟 总分:150分)
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共22题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只交答题卡。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，学号填涂在答题卡上，并认真核对。
2、各题答案均使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1、已知集合， ，则 ( )
A． B． C． D．
2、已知, (为虚数单位)若，则（ ）
A． B． C． D．
3、在等差数列中，为其前项和，若，则 ( )
A．60 B．75 C.90 D．105
4、已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5、在中，，点为边上一点，且，
则 ( )
A．3 B．2 C． D．
6、已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
7、函数的部分图象如图，
将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8、已知函数是定义在上的偶函数，若任意的，都有，
当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9、已知等差数列的前项和是，若，，则最大值是( )
A． B． C． D．
10、设函数，，若数列是单调递减数列，
则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11、若直线ax﹣y=0（a≠0）与函数图象交于不同的两点A，B，且
点C（6，0），若点D（m，n）满足，则m+n=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．a
12、定义在R上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、已知是锐角，且，则
14、数列满足且，则数列的通项公式
15、设函数，若曲线在点处的切线方程为，
则实数 ．
16、定义在上的函数单调递增区间为，若关于x的方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围______.
三、解答题：(本大题共6小题，17题10分,18-22题12分,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分）
已知数列{an}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{bn}是等差数列，满足
b2=4，b4=a3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an﹣bn，求数列{cn}的前n项和．
18、（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为,已知．
（1）求证：成等比数列；
（2）若，求的面积．
19、（本小题满分12分）
已知函数的图象与函数的图象关于点对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围.
20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
x1
x2
x3
ωx+φ
0
π
2π
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
（1）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，
求函数y=f（x）•g（x）在区间（0，）的最小值．
21、（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，，满足，，．
（1)求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
22、（本小题满分12分）
已知函数.
（1) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(2) 证明: 当时, .
奉新一中2018届高三上学期第二次月考数学试卷(文)答案
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
B
D
C
B
A
C
B
B
D
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13 14 15 16
三、解答题：(本大题共6小题，17题10分,18-22题12分,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17、（本小题满分10分）
已知数列{an}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{bn}是等差数列，满足
b2=4，b4=a3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=an﹣bn，求数列{cn}的前n项和．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意，得，解得：q=2．
∴∴a3=12．
设等差数列{an}的公差为d，∵b2=4，b4=12，∵b4=b2+2d，∴12=4+2d，
解得：d=4，∴bn=b2+（n﹣2）d=4+（n﹣2）×4=4n﹣4，bn=4n﹣4．…（6分）
（2）由（1）知，bn=4n﹣4，因此．
从而数列{cn}的前n项和
==3×2n﹣3﹣n（2n﹣2）…（12分）=3×2n﹣3﹣2n2+2n 10分
18、（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为,已知．
（1）求证：成等比数列；
（2）若，求的面积．
（1）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
所以a，b，c成等比数列． 6分
（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，
∵0＜B＜π∴sinB=
∴△ABC的面积． 12分
19、（本小题满分12分）
已知函数的图象与函数的图象关于点对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围.
解：(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B′(x′，y′)，
则∴ ……………4分
∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋.∴2－y＝－x－，∴y＝x＋ +2，
即f(x) ＝x＋ +2. ………………6分
(2)∵g(x)＝xf(x)+ax=x2+(a+2)x+1且g(x)在(0,4]上为减函数， ……………………8分
∴≥4，即a≤－10.
∴a的取值范围为(－∞，－10]． ………………12分
20、（本小题满分12分）
某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
x1
x2
x3
ωx+φ
0
π
2π
Asin（ωx+φ）
0
2
0
﹣2
0
（1）求x1，x2，x3的值及函数f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，
求函数y=f（x）•g（x）在区间（0，）的最小值．
解：（1）由φ=0，φ=0可得：ω=，φ=﹣，…（2分）
由x1﹣=；x2﹣=；x3﹣=2π可得：
x1=，x2=，x3=，又∵Asin（）=2，∴A=2．
∴f（x）=2sin（x﹣），…（6分）
（2）由f（x）=2sin（x﹣）的图象向左平移π个单位，
得g（x）=f（x）=2sin（x﹣+）=2cos（）的图象，…（8分）
∴y=f（x）•g（x）=2×2sin（）cos（）=2sin（x﹣）…（10分）
∵x∈（0，）时，x﹣∈（﹣，π）
∴当x﹣=﹣时，即x=时，ymin=﹣2，…（12分）
21、（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，，满足，，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
证明：（1），，．∴n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn，
∴=2•，∴a1=1，∴=1，
∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列 4分
（2）由（1）知，∴，
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，
∴2Tn=1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
由错位相减得﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1，
∴Tn=（n﹣1）2n+1 12分
22、（本小题满分12分）
已知函数.
（1) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(2) 证明: 当时, .
解:（1）法1: 函数的定义域为.
由, 得.
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
当, 即时, 又, 则函数有零点.
所以实数的取值范围为.
法2：函数的定义域为.
由, 得
令，则.
当时, ; 当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
故时, 函数取得最大值.
因而函数有零点, 则.
所以实数的取值范围为. 5分
（2） 要证明当时, ,
即证明当时, , 即.
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
于是,当时, ①
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, .
于是, 当时, ②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, 12分