高中数学第四章数列4-2等差数列4-2-1第2课时等差数列的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册 27页

第 2 课时　等差数列的性质及应用 激趣诱思 知识点拨 《九章算术》是我国古代的数学名著 , 书中有如下问题 :“ 今有五人分五钱 , 令上二人所得与下三人等 , 问各得几何 ?” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱 , 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同 , 且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 . 问五人各得多少钱 ?”(“ 钱 ” 是古代的一种质量单位 ) 激趣诱思 知识点拨 一、等差数列与一次函数的 关系 激趣诱思 知识点拨 微练习 若 { a n } 为等差数列 , a p =q , a q =p ( p ≠ q ), 则 a p+q 为 ( 　　 ) A. p+q 　　　　　　 B.0 C. - ( p+q ) 解析 : 设图象过点 ( p , q ) 和 ( q , p ) 的一次函数为 y=kx+b , 则 所以 图象过点 ( p , q ) 和 ( q , p ) 的一次函数为 y=-x+ ( p+q ), 由等差数列和一次函数的关系可知 a n =-n+ ( p+q ), 所以 a p+q =- ( p+q ) + ( p+q ) = 0 . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 二、等差数列的常用 性质 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 等差数列 { a n } 中 , 若 m+n= 2 p , 则 a m +a n = 2 a p ( m , n , p ∈ N * ) . (2) 等差数列 { a n } 中 , 若 m+n+t=p+q+r , 则 a m +a n +a t =a p +a q +a r ( m , n , t , p , q , r ∈ N * ) . (3) 等差数列 { a n } 中 , 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 判断正误 . ① 在等差数列的通项公式中 , a n 是关于 n 的一次函数 . ( 　　 ) ② 在等差数列 { a n } 中 , 若 a m +a n =a p +a q , 则 m+n=p+q. ( 　　 ) ③ 等差数列去掉前面连续的若干项后 , 剩下的项仍构成等差数列 . ( 　　 ) ④ 摆动数列不可能是等差数列 . ( 　　 ) ⑤ 在等差数列 { a n } 中 , 若 m+n=p , 则 a m +a n =a p . ( 　　 ) ⑥ 在等差数列 { a n } 中 , 若 m+n+p= 3 t , 则 a m +a n +a p = 3 a t . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ② × 　 ③ √ 　 ④ √ 　 ⑤ × 　 ⑥ √ 激趣诱思 知识点拨 (2) 在等差数列 { a n } 中 , 若 a 5 = 7, a 9 = 19, 则 a 2 +a 12 = 　　　　　 , a 7 = 　　　　　 .   解析 : a 2 +a 12 =a 5 +a 9 = 7 + 19 = 26 . 因为 a 5 +a 9 = 2 a 7 = 26, 所以 a 7 = 13 . 答案 : 26 　 13 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列性质的应用 例 1 (1) 已知等差数列 { a n }, a 5 = 10, a 15 = 25, 求 a 25 的值 ; (2) 已知等差数列 { a n }, a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 = 70, 求 a 1 +a 9 的值 ; (3) 已知数列 { a n },{ b n } 都是等差数列 , 且 a 1 = 2, b 1 =- 3, a 7 -b 7 = 17, 求 a 19 -b 19 的值 . 分析 : 利用等差数列的性质解决各个问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1)( 方法 1) 设 { a n } 的公差为 d , ( 方法 2) 因为 5 + 25 = 2 × 15, 所以在等差数列 { a n } 中有 a 5 +a 25 = 2 a 15 , 从而 a 25 = 2 a 15 -a 5 = 2 × 25 - 10 = 40 . ( 方法 3) 因为 5,15,25 成等差数列 , 所以 a 5 , a 15 , a 25 也成等差数列 , 因此 a 25 -a 15 =a 15 -a 5 , 即 a 25 - 25 = 25 - 10, 解得 a 25 = 40 . (2) 由等差数列的性质 , 得 a 3 +a 7 =a 4 +a 6 = 2 a 5 =a 1 +a 9 , 所以 a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 = 5 a 5 = 70, 于是 a 5 = 14, 故 a 1 +a 9 = 2 a 5 = 28 . (3) 令 c n =a n -b n , 因为 { a n },{ b n } 都是等差数列 , 所以 { c n } 也是等差数列 , 设其公差为 d , 由已知 , 得 c 1 =a 1 -b 1 = 5, c 7 = 17, 则 5 + 6 d= 17, 解得 d= 2, 故 a 19 -b 19 =c 19 = 5 + 18 × 2 = 41 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求等差数列基本运算的两种方法 一是利用基本量运算 , 借助于 a 1 , d 建立方程组进行运算 , 这是最基本的方法 ; 二是利用性质运算 , 运用等差数列的性质可简化计算 , 往往会有事半功倍的效果 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 已知数列 { a n } 为等差数列 , 且 a 1 +a 6 +a 11 = 3, 则 a 3 +a 9 = 　　　　　 .   (2) 已知 { a n } 为等差数列 , a 15 = 8, a 60 = 20, 则 a 75 = 　　　　　 .   解析 : (1) 因为数列 { a n } 为等差数列 , 所以 a 1 +a 11 = 2 a 6 , 即 3 a 6 = 3, 解得 a 6 = 1, 故 a 3 +a 9 = 2 a 6 = 2 . (2) 因为 { a n } 为等差数列 , 所以 a 15 , a 30 , a 45 , a 60 , a 75 也成等差数列 , 设其公差为 d , 则 a 15 为首项 , a 60 为其第 4 项 , 所以 a 60 =a 15 + 3 d , 即 20 = 8 + 3 d , 解得 d= 4, 所以 a 75 =a 60 +d= 20 + 4 = 24 . 答案 : (1)2 　 (2)24 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列的综合问题 例 2 (1) 设 { a n } 是公差为正数的等差数列 , 若 a 1 +a 2 +a 3 = 15, a 1 a 2 a 3 = 80, 求 a 11 +a 12 +a 13 的值 ; (2) 已知四个数依次成等差数列 , 且是递增数列 , 这四个数的平方和为 94, 首尾两数之积比中间两数之积少 18, 求此等差数列 . 分析 : (1) 利用等差数列的性质求解 ;(2) 可设这四个数依次为 a- 3 d , a-d , a+d , a+ 3 d 进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 设 { a n } 的公差为 d , ∵ a 1 +a 3 = 2 a 2 , ∴ a 1 +a 2 +a 3 = 15 = 3 a 2 , ∴ a 2 = 5 . 又 a 1 a 2 a 3 = 80,{ a n } 是公差为正数的等差数列 , ∴ a 1 a 3 = (5 -d )(5 +d ) = 16, 解得 d= 3 或 d=- 3( 舍去 ), ∴ a 12 =a 2 + 10 d= 35, ∴ a 11 +a 12 +a 13 = 3 a 12 = 105 . (2) 设这四个数分别为 a- 3 d , a-d , a+d , a+ 3 d , 则 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三个数或四个数成等差数列时 , 设未知量的技巧如下 : (1) 当等差数列 { a n } 的项数 n 为奇数时 , 可先设中间一项为 a , 再用公差为 d 向两边分别设项 : … , a- 2 d , a-d , a , a+d , a+ 2 d , … . (2) 当等差数列 { a n } 的项数 n 为偶数时 , 可先设中间两项为 a-d , a+d , 再以公差为 2 d 向两边分别设项 : … , a- 3 d , a-d , a+d , a+ 3 d , … . 这样可减少计算量 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知三个数成等差数列 , 且数列是递增的 , 它们的和为 18, 平方和为 116, 求这三个数 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由 ① 得 a= 6, 代入 ② 得 d= ± 2 . ∵ 该数列是递增的 , ∴ d=- 2 舍去 , ∴ d= 2, ∴ 这三个数分别为 4,6,8 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列的实际应用 例 3 《九章算术》 “ 竹九节 ” 问题 : 现有一根 9 节的竹子 , 自上而下各节的容积成等差数列 , 最上面 4 节的容积共 3 升 , 最下面 3 节的容积共 4 升 , 则从上往下数 , 第 5 节的容积为 ( 　　 ) 分析 : 设出等差数列的首项与公差 , 运用等差数列的知识解决 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 设所构成的等差数列 { a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d , 则 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 1 . 解答数列实际应用问题的基本步骤 :(1) 审题 , 即仔细阅读材料 , 认真理解题意 ;(2) 建模 , 即将已知条件翻译成数学 ( 数列 ) 语言 , 将实际问题转化成数学问题 ;(3) 判型 , 即判断该数列是否为等差数列 ;(4) 求解 , 即求出该问题的数学解 ;(5) 还原 , 即将所求结果还原到实际问题中 . 2 . 在利用数列方法解决实际问题时 , 一定要弄清首项、项数等关键问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行 , 以后每 4 年举行一次 , 如因故不能举行 , 届数照算 , 那么 2020 年将在日本东京举行的奥运会是 ( 　　 ) A. 第 30 届 B. 第 31 届 C. 第 32 届 D. 第 33 届 解析 : 依题意知举行奥运会的年份构成以 1 896 为首项 ,4 为公差的等差数列 , 通项公式为 a n = 1 896 + 4( n- 1), 令 2 020 = 1 896 + 4( n- 1), 解得 n= 32 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列的探索性 问题 (1) 求证 : 数列 { b n } 为等差数列 . (2) 设 c n = , 试问数列 { c n } 中是否存在三项 , 它们可以构成等差数列 ? 若存在 , 求出这三项 ; 若不存在 , 说明理由 . 分析 : (1) 证明 ( b n+ 1 -b n ) 为常数 ;(2) 假设存在三项成等差数列 , 利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 解 : 假设数列 { c n } 中存在三项 , 它们可以构成等差数列 . 不妨设为第 p , r , q ( p 0 . ∵ a 1 = 1, 且 a 2 +a 6 =a 8 , ∴ 2 + 6 d= 1 + 7 d , 解得 d= 1 . 若 p-q= 10 , 则 a p -a q = 10 d= 10 . 答案 : 10 4 . 已知直角三角形的三条边的长度成等差数列 , 则它们长度的比等于 　　　　　 .   解析 : 设这个直角三角形的三边长分别为 a-d , a , a+d , 根据勾股定理 , 得 ( a-d ) 2 +a 2 = ( a+d ) 2 , 解得 a= 4 d , 于是这个直角三角形的三边长分别是 3 d ,4 d ,5 d , 即这个直角三角形的三边长的比是 3 ∶ 4 ∶ 5 . 答案 : 3 ∶ 4 ∶ 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 某公司 2017 年经销一种数码产品 , 获利 200 万元 , 从 2018 年起 , 预计其利润每年比上一年减少 20 万元 . 按照这一规律 , 如果公司不开发新产品 , 也不调整经营策略 , 从哪一年起 , 该公司经销这一产品将出现亏损 ? 解 : 记 2017 年为第 1 年 , 由题设可知第 1 年获利 200 万元 , 第 2 年获利 180 万元 , 第 3 年获利 160 万元 , …… , 则每年获利构成等差数列 { a n }, 且当 a n < 0 时 , 该公司经销此产品将亏损 . 设第 n 年的利润为 a n , 因为 a 1 = 200, 公差 d=- 20 , 所以 a n =a 1 + ( n- 1) d= 220 - 20 n. 由题意知 , 数列 { a n } 为递减数列 , 令 a n < 0, 即 a n = 220 - 20 n< 0, 解得 n> 11, 即从第 12 年起 , 也就是从 2028 年开始 , 该公司经销此产品将出现亏损 .