- 171.50 KB
- 2024-02-17 发布
广雅中学2018届高三（下）诊断性测试试卷(一)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁UA）∪B=R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（ ）
A．充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
4．若，则sin2α的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且9S3=S6，a2=1，则a1=（ ）
A． B． C． D．2
6．已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．x2﹣y2=1 C． D．x2﹣y2=2
7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn
，则x1+2x2+2x3+…
+2xn﹣1+xn=（ ）
A． B．445π C．455π D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为 ．
15．设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a的值有
16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．
18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
对商品不满意
合计
200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
（2）求X的数学期望和方差．
附：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中n=a+b+c+d）
20．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．
（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．A．2．D．3．A．4．C．5．A．6．D．7．D．8．B9．C．10．D11．D．12．C
二、填空题：
13．﹣240．14．13．15．4．16．．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，
整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，
由于：0＜B＜π，则：sinB≠0，解得：，
所以：B=．
（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，
在直角△BCD中，若a=3，BD=，
解得：，解得：，
则：，，
所以：cos∠ABD===，
则：在Rt△ABD中，，=．故：c=5．【来源：全,品…中&高*考+网】
18．（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，
∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，
又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，
在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，
∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，
∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEC；
（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），
∴，，=（，，﹣）．
设平面PED的一个法向量为，
由，令z=﹣1，则，
又平面PBE的一个法向量为，
则cos＜＞==．
∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120【来源：全,品…中&高*考+网】
对商品不满意
70
10
80
合计【来源：全,品…中&高*考+网】
150
50
200
K2=≈11.111＞6.635，【来源：全,品…中&高*考+网】
故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．
（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．其中P（X=0）=（）3=，
P（X=1）==，
P（X=2）=，
P（X=3）==，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（2）∵X～B（3，），
∴E（X）=， D（X）=3×=．
【来源：全,品…中&高*考+网】
20．
解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．
（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，
所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，
则：，解得：，
则：=，
则：|AP|的最大值为：，
|AP|的最小值为：．