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- 2024-02-17 发布
河东区高一学生居家学习自我综合检测
数学试卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,的共轭复数为，选D.
2.下列各式化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论．
【详解】解：因为，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故错误.
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题．
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，故选B.
考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.
4.下列命题中正确的有（ ）
①一个棱柱至少有5个平面；
②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；
③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；
④正方形的直观图是正方形；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用棱柱的定义判断①的正误；利用正棱锥的定义判断②；棱台的侧棱所在的直线必交于一点判断③的正误；正方形的直观图判断④的正误即可．
【详解】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，
射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；
③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；
④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；
正确的命题只有①②．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及棱锥、棱柱、棱台以及直观图的基本知识，考查对概念的理解．
5.已知是不共线向量，且，则（ ）.
A. A，B，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的加法以及向量的共线定理即可求解.
【详解】，
∴A，B，D三点共线.
故选：A
【点睛】本题考查了向量的共线定理，需熟记定理内容，属于基础题.
6.在中，角所对的边分别为，已知，则边为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，得到，再由三角形的面积求得的值，再利用余弦定理即可求得的值．
【详解】解：由题可知，，
，，
又，
，
，
即：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，以及利用余弦定理解三角形，考查计算能力．
7.在中，向量和满足，则为（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 三边不等三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中，，代入已知式子中，化简得，所以为等腰三角形．
【详解】解：中，，
，
，
，
为等腰三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及平面向量的线性运算的应用．
8.在中，角所对的边分别为，，则角为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
在中利用正弦定理求出角，再利用三角形内角和，即可求出角．
【详解】解：在中，，
由正弦定理得：，即，
，
，，又，
或，
或.
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，考查了计算能力．
9.已知等边的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．
【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．
10.如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．
【详解】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，
体积是：，
正方体的体积为：，
则石凳的体积是：．
故选：B．
【点睛】本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
11.计算复数_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.
【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
∴，，
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查圆柱和球的表面积，属于基础题.
13.等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
详解】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的结构特征和体积公式，属于基础题．
14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．
【答案】
【解析】
设，则，，则，∴，故答案为.
15.在复平面内，复数与对应的向量分别是，其中是原点，则向量
的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知求得的坐标，再由向量的坐标减法求解．
【详解】解：由题意，复数与对应的向量分别是，
则，，
，，，，
向量的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，以及向量的坐标的减法运算．
16.平面向量两两夹角都相等，且，则____________.
【答案】5或
【解析】
【分析】
由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，由于三个向量的模已知，当两两夹角为时，直接算出结果；当两两夹角为时，采取平方的方法求三个向量的和向量的模．
【详解】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，
可得任意两向量的夹角是或，
当两两夹角为时，方向相同，则；
当两两夹角为时，由于，
则：
，
即：，，
综上得：或.
故答案为：5或．
【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.
三、解答题：（本大题5个题，共46分）
17.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）由虚部为0，求解值；
（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；
（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．
【详解】解：由题可知，复数，
（1）当为实数时，则虚部为0，
由，解得：或；
（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由，解得：；
（3）当对应的点位于直线上时，则，
即：实部与虚部的和为0，
由，解得：或．
【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
18.已知向量,.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）-1；（2）-11.
【解析】
【分析】
（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行的性质，求出的值；
（2）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，求出的值．
【详解】解：（1）已知向量，，
，，，
若，则，
解得：．
（2）若，
则
.
解得：．
【点睛】本题考查两个向量坐标形式的运算，根据两个向量垂直、平行的坐标运算求参数值，考查计算能力．
19.在中，角所对的边分别为，.
（1）求角A；
（2）若，且的面积为2，求边的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理结合，可得，从而求出角；
（2）由三角形面积求出，代入余弦定理求得，从而得出．
详解】解：（1），
由正弦定理得：，
又，
，
又，，
，又，
；
（2），
，
，
又，
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，还涉及三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式，考查了计算能力．
20.已知 是夹角为的单位向量，且，．
（1）求；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题知，由向量的数量积公式进行运算即可，注意，在去括号的向量运算过程中可采用多项式的运算方法；（2）根据向量数量积公式，可先求出的值，又，从而可求出的值.
试题解析：（1）
=
=
（2）
21.在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
【答案】（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【解析】
【分析】
（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；
（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间．
【详解】解：（1）由题意可知，，，
在中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得：，
即，
解得：，
，
船在船的正西方向．
（2）由（1）知，，
设小时后缉私艇在处追上走私船，
则，，
在中，由正弦定理得：，
解得：，
，
是等腰三角形，
，即．
缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．