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- 2024-02-16 发布
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为，，，则正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题：“函数为幂函数，则的图像不过第四象限”．在的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列函数中是偶函数，且在上是单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为，则定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等于（ ）
A． B． C． D．
7．函数，，在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（ ）
A． B． C．
D．
8．对于都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．若函数，，则函数值域为（ ）
A． B． C． D．
11．在等腰直角三角形中，，点,分别为，的中点，点为内部任一点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若函数在上单调递增，且关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在中，，，，则 ．
14．若函数，则 ．
15．定义在上的奇函数的导函数为，且，当时，则不等式的解集为 ．
16．在中，，，，，点满足
，，则为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． （本小题满分12分）
已知集合，，，求实数的取值的集合．
18． （本小题满分12分）
定义在上的函数，，其中为奇函数，为偶函数，且
（1）求和的解析式；
（2）命题：对任意，都有，命题：存在，使，若为真，求的取值范围．
19． （本小题满分12分）
已知函数的最大值为，图像关于对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．
（1）求的解析式，并写出的单调增区间．
（2）若把的图像向左平移个单位，横坐标伸长为原来的2倍得图像当时，试证明，．
20． （本小题满分12分）
某市渭河的某水域有夹角为的两条直线河岸，（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距地相距1公里的处有座千年古亭，为保护古亭，沿所在直线建一河堤（，分别在，上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在水域建一个水上游乐城，如何设计、河岸的长度，、都不超过5公里（不妨令公里，公里）．
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域．
（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时、是如何设计的．
21． （本小题满分12分）
已知函数
（1）求的单调区间和极值．
（2）若有三个零点，求实数的取值范围．
（3）若对，，使得，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．
（2）直线的参数方程为（为参数），交于、两点，且，求的斜率．
23． （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（1）求集合．
（2）当，时，求证．
试卷答案
一、选择题
1-5:ABBDA 6-10:ADDBC 11、12：AC
二、填空题
13．1或2 14．2 15． 16．5
三、解答题
17．解：
,．
当时，，满足．
当时，．
或
即或．
则实数取值的集合为．
18．解：（1）①
（2）若真，，
或
若真，
即解得
则的范围为
19．解（1）
，
又
而，
令，
，
则的增区间为，
（2）
当时，要证，即证
令，
当，得
当时，，即递增
时，，即递减
则，即
故
20．解
（1）设，（单位：公里）
即
又
所求定义域为
（2）由（1）知令游乐城面积为
方法一：导数
方法二：
当里数为即时，上式取等号．
时，取最小值．
答：当、长都设计为2公里时，游乐城的面积至少为平方公里．
21．解：（1）
，令得或
0
0
0
极小值
极大值
减区间，
增区间
时，取极小值，且，
时，取极大值，且．
（2）若有三个根，即有三个不同实根．如图，
由（1）知，，
得
则的取值范围为．
（3）及由（1）知
当时，；时，．
设集合，
已知“对，，使”
若即时，，，而，不满足；
若即时，，此时在上单调递减，
故，此时，满足；
若即时，有，此时在上单调递减，故
，，不满足．
综上所述，的取值范围为．
22．解：（1），，方程为．
（2）为，
圆心到直线的距离为
又，解得，．
综上所述，的斜率为．
23．解：（1）
恒成立
当时，得
当时，得
综上所述
（2）
证明：由（1）知
要证
恒成立
则原不等式得证