- 836.50 KB
- 2024-02-16 发布
2018～2019学年10月北京海淀区首都师范大学附属中学
高一上学期月考数学试卷
一、选择题
1.已知集合，，，则是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据条件求出，然后再根据并集的定义求出即可.
【详解】解：因为，，所以，则.
故选:A.
【点睛】本题考查集合补集以及并集的运算，属于基础题.
2.下列四组中，与表示同一函数的是（ ）
A. , B. ,
C. ， D. ,
【答案】D
【解析】
对于A中，可知，，所以两个函数不同一函数；
对于B中，，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于C中，，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，与的定义域和解析式都相同，所以是同一函数，故选D.
3.已知满足，这样的集合可能有( )
A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题干条件可知：A中至少包含0,2两个元素，可能含有-1或1，列举可得全部可能的集合A，即可得到答案.
【详解】解：，则A中至少包含0,2两个元素.或 或或共4个.
故选：B
【点睛】本题考查集合并集的运算，考查子集的定义，考查学生转化的能力，属于基础题.
4.已知函数，则( )
A. B. 4 C. 9 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
首先计算最内层函数=2，然后判断2<3,根据题意代入2所对应范围的函数解析式，计算即可求得结果.
【详解】解：因为5>3,所以， 则.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数求值，根据分段函数的表达式分别求解是解决本题的关键，属于基础题.
5.已知函数，则f(3)＝( )
A. 8 B. 9
C. 11 D. 10
【答案】C
【解析】
∵f ＝2＋2，
∴f(3)＝9＋2＝11. 选C
6.下列函数中，在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据增函数的定义逐个分析选项即可得出答案.
【详解】解：A:时，，所以在区间上是增函数.所以A成立.B: 在区间上是减函数，所以B不成立. C：在区间上是减函数，所以C不成立. D： 在区间上是减函数，所以D不成立.
故选：A.
【点睛】本题考查函数单调性的判断，牢记初等函数的图像和性质是解决本题的关键，属于基础题.
7.若偶函数在上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶函数性质确定上单调性，再根据单调性确定大小.
【详解】由偶函数在上是增函数，得在上是减函数，，，又因为，得，即，故选项为D.
【点睛】本题考查偶函数性质与函数单调性应用，考查基本分析求解能力.
8.函数在区间上为减函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据a取值，讨论是否为二次函数，然后再根据二次函数的单调性建立不等关系，从而求出a的范围.
【详解】解：当时，，在区间上为减函数，所以成立.
当时，函数为二次函数，在区间上为减函数，则 解得：.综上.
故选：C.
【点睛】本题考查已知二次函数的单调性求参，考查二次函数对称轴与单调区间的关系，同时考查了学生分类讨论的思想，属于基础题.
9.，的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意确定是条件推选项，所以逐个选项分析，，只能推出
，由此得出答案.
【详解】解：对于A：，推不出，即，所以A错误.
对于B：，则，所以B选项正确.
对于C: ，时,不恒成立，例如当a=-1，b=-2时不成立，所以C错误.
对于D：，时, 不恒成立，例如当a=-2，b=-1时不成立，所以D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查必要条件，解题的关键是先确定题干推选项还是选项推题干，同时考查了不等式的性质以及特殊值的用法，属于基础题.
10.已知函数为奇函数，时为增函数且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由于函数为奇函数，时为增函数且，
可得函数在上单调递增，且 ，
故函数的单调性示意图如图所示：
由函数的图象可得 ，或 ，
解得 或 ，
故选A．
二、填空题
11.函数定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干条件列关系式，解方程即可得到答案.
【详解】解：由题意可知：，解得：且，所以定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，同时考查了不等式组的解法，属于基础题.
12.已知命题，，写出______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据含全称量词的命题的否定结论，写出答案.
【详解】解：命题，则：.
故答案为：.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，解题的思路是否条件，否结论，不否范围，属于基础题.
13.已知集合，若，则实数的值为 ．
【答案】0，±1
【解析】
【详解】试题分析：当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．
考点：利用子集关系求参数．
14.设函数，若方程有三个不等实根，则的取值范围为______.
【答案】（0，1）
【解析】
【分析】
画出分段函数的图象，将方程f（x）＝t有三个不等实根，转化为函数y＝f（x）与y＝t的图象有三个交点问题，根据图象，即可求得t的取值范围．
【详解】解：画出分段函数的图象如图所示，
将方程f（x）＝t有三个不等实根，转化为函数y＝f（x）与y＝t的图象有三个交点问题，
画出y＝t的图象，可以得到0＜t＜1，
∴t的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点睛】本题考查了分段函数的图象，函数的零点与方程的关系，对于函数的零点，一般会转化成方程的根，或是利用图象转化成两个函数的交点问题．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，属于基础题．
15.对于定义在上的任意函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将没有不动点转化为无解，然后利用二次函数根的判别式求解即可.
【详解】解：因为二次函数没有不动点，所以无解.即无解，所以，解得：.
故答案为：
【点睛】本题借助于不动点这一概念，考查了函数与方程的综合运用，考查了学生转化问题的能力，属于中档题.
三、解答题
16.已知全集，集合，,
（1）求；（2）求；（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据已知可得，由交集运算可得；（2）根据集合的补集，并集运算可得到；（3）因为，根据数轴可以得到
试题解析：（1），
．
（2）
（3）
且,
的取值范围是
考点：集合的运算
17.解不等式.
⑴.
⑵.
【答案】⑴；⑵.
【解析】
【分析】
⑴首先分解因式，然后根据一元二次不等式的解法，小于0取中间即可求解.
⑵先把最高次项的系数化为正，转化为，然后分解因式，根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】解：⑴，， .所以不等式的解集为：.
⑵等价于，即，解得：.所以不等式的解集为：.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
18.函数是定义在上的奇函数。
（1）求函数的解析式；
（2）用单调性的定义证明函数在上是增函数。
【答案】(1) (2) 见解析
【解析】
试题分析：（1）根据奇函数定义得，解得（2）先根据定义作差，通分提取公因式，再根据自变量范围确定各因子符号，确定差的符号，由增函数定义得证
试题解析：
19.已知函数.
⑴若函数的图象经过点，求实数的值.
⑵当时，函数的最小值为1，求当时，函数最大值.
【答案】⑴b＝2；⑵见解析.
【解析】
【分析】
（1）把点的坐标代入f（x）计算；
（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．
【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．
（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．
①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，
∴fmin（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣．
∴fmax（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．
②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，
∴fmin（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝（舍）．
③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．
∴fmin（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝或b＝﹣（舍）．
∴fmax（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+2．
综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+2．
【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．
20.若是定义在上的增函数，且．
（1）求的值；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）将变量赋值为1，可求解的值；（2）利用关系式，将赋值为2，代入不等式化简，结合单调性可求得的不等式，得到解集
试题解析：（1）在中，
令，则有，
．
（2），，
不等式
等价为不等式，
，
是上的增函数，
，解得，
即不等式的解集为．
考点：1．赋值法求值；2．单调性解不等式