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- 2024-02-11 发布
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湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合补集的定义，求出A的补集即可．
【详解】
∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣1，0，2，4}，
∴∁UA＝{1，3}．
故选：C．
【点睛】
本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2．设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
∵，
∴该方程的根所在的区间为。选B
3．如果直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）
A．-2 B． C．- D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．
【详解】
∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，
∴它们的斜率相等，
∴1
∴a＝2
故选D．
【点睛】
本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题．
4．设的内角， ， 所对边分别为， ， 若， ， ，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，所以或，又因为，所以应舍去，应选答案A。
!
5．如图的程序运行后输出的结果为（ ）
A．-17 B．22 C．25 D．28
【答案】B
【解析】
【分析】
根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x＝y﹣3
，不满足条件即执行y＝y+3，最后输出x﹣y即可．
【详解】
程序第三行运行情况如下：
∵x＝5，不满足x＜0，则运行y＝﹣20+3＝-17
最后x＝5，y＝-17，
输出x﹣y＝22．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．
6．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或重合
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意设α∩β＝l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．
【详解】
设α∩β＝l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．
又∵b⊂α，c⊄α，
∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，
∴c∥l．
∴a∥l．
故选：C．
【点睛】
本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题．
7．在中，已知，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用同角的三角函数的基本关系式，求得的值，再利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解．
【详解】
在中，，
所以，
又由
，故选A．
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25，30
B．3，13，23，33，43，53
C．1，2，3，4，5，6
D．2，4，8，16，32，48
【答案】B
【解析】
试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本
考点：系统抽样
点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为10
9．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．
【详解】
记“两段的长都不小于2m”为事件A，
将长度为5m的绳子依次分成2m、1m 、2m的三段，
若符合剪得两段的长都不小于2m，，则只能在中间1m的绳子上剪断，
所以事件A发生的概率．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．
10．已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cosθ，可得答案．
【详解】
，且关于x的方程有实根，
则，设向量的夹角为θ，
cosθ，
∴θ∈，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．，涉及二次方程根的问题，属于基础题．
11．①命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
②命题“，”的否定是“，”；
③命题“若，则”的逆否命题为真命题；
④“”是“”的必要不充分条件．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据命题的否定、全称命题与特称命题的关系、四种命题的关系和充要条件的判定方法，对选项逐一判定，即可得到答案．
【详解】
由题意，①为假命题，“若，则”的否命题应为“若，则”；
②为假命题，“，”的否定应为“，”；
③由命题“若，则”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以正确；
④为假命题，“”是“”的充分不必要条件．
选A.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记命题的否定、全称命题与特称命题的关系、四种命题的关系和充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】
由题意可得，，，，
，，
且，菱形的边长为，
由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D．
由面积相等，可得，
即为，
即有，
由，可得，
解得，
可得，或(舍去)
故选：C．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
13．设，，…，是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为
A．96 B．144 C．192 D．240
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知8的顺序数为2，则8必是排第三位，7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，分为两种，利用分类计数原理，即可求解．
【详解】
由题意知8的顺序数为2，则8必是排第三位，7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，
分为两种，（1）当5在6的前面，那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有种；
（2）当6在5前面，5在第7位，有种．
所以满足题意的排列总数为种．
故选B.
【点睛】
本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
14．已知，，且，则的最大值是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．
【详解】
∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，
∴由基本不等式可得mn4，
当且仅当m＝n＝2时，取等号，
故答案为：4
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
15．已知函数，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出f（）2，从而f（f（））＝f（﹣2），由此能求出结果．
【详解】
∵函数 f（x），
∴f（）2，
f（f（））＝f（﹣2）＝2﹣2．
故答案为．
【点睛】
本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．
16．等差数列中，，，则数列的公差为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．
【详解】
因为等差数列{an}中，a3＝3，a8＝33，
所以公差d6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
17．函数的定义域是 .
【答案】 ，
【解析】
试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，
考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。
18．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是__________．
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．
【详解】
如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，
∴PO⊥底面ABCD，且PO＝R，SABCD＝2R2，，
所以•2 R2•R，
解得：R＝2，
球O的表面积：S＝4πR2＝16π，
故答案为：16π
【点睛】
在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，通常有如下方法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．
19．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．设直线与抛物线的两个交点为、，点为抛物线的焦点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
得出抛物线的直角坐标方程为，直线的方程为
，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，利用抛物线的定义，即可求解，得到答案．
【详解】
由抛物线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），
可得抛物线的直角坐标方程为，直线的方程为，
设、，
则由解得，又直线过抛物线的焦点，
所以.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及抛物线的定义应用，其中解答中把根据互化公式，化简得到抛物线和直线的直角坐标方程，再利用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．若存在实数满足，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
对等式的两边取自然对数，得，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合函数的图象，即可求解．
【详解】
由题意，因为，对等式的两边取自然对数，得，即，构造函数，则，
令得.易知在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以，
因为，所以当时；当时.
如图所示，可以看成是函数的图象与直线的两个交点的横坐标．
因为，所以的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中对等式两边取对数，构造新函数，利用导数得到函数的单调性和最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
评卷人
得分
三、解答题
21．某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后画出如图的频率分布直方图．
（1）估计这次竞赛成绩的众数与中位数（结果保留小数点后一位）；
（2）若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．
【答案】（1）众数75；中位数约为73.3；（2）360.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中众数与中位数的计算方法，即可求解．
（2）由频率分布直方图，求得不低于80分的频率，即可求解1200名学生中可以获得礼物的人数，得到答案．
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，本次竞赛成绩的众数是.
因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内，
设中位数为，则有，解得.
所以中位数约为73.3.
（2）由频率分布直方图，可得不低于80分的频率，
所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图中众数、中位数，以及频率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
22．已知函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域和值域；
（3）证明：函数是奇函数．
【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的图象过点，利用，即可求解；
（2）由（1）知，，根据，求得，进而求解函数的值域；
（3）利用函数奇偶性的定义，即可判定函数为奇函数．
【详解】
（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得.
（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为.
因为，
又∵，∴，所以的值域为．
（3）∵的定义域为，且，所以是奇函数．
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及函数奇偶性的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
23．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若三棱锥的体积为，求四棱锥的侧面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）连结，交于点.连结，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）由四边形是正方形，所以，又由因为底面，证得，
利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；
（3）由，求得，进而利用面积公式，即可求解．
【详解】
（1）连结，交于点.连结，
因为四边形是正方形，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，
因为底面，所以，
又，所以平面.
（3）因为，
又因为底面是边长为2的正方形，所以，所以，
又因为是的中点，所以.所以，
所以四棱锥的侧面积
.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积与表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的表面积与体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
24．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）设函数，，求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，求得，即可求解；
（2）利用三角恒等变换的公式，化简，再利用三角函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）因为，所以，
解得.
（2）由三角恒等变换的公式，化简得
，
当时，，，
所以的值域为.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，其中解答熟记向量的数量积的运算公式，以及合理应用三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
25．已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）对于（2）中的，设，求数列中的最大项．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由成等差数列，得，利用和的关系，化简得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解其通项公式；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求的；
（3）由（1）（2）可得，设数列的第n项最大，列出不等式组，即可求解实数n的范围，得到答案．
【详解】
（1）由题意知成等差数列，所以， ①
可得， ②
①-②得，所以，
又，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可得，
用错位相减法得：， ①
， ②
①-②可得.
（3）由（1）（2）可得，
设数列的第n项最大，则，可得，
解得．
所以或 时，最大，即为中的最大项．
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列综合应用、以及“错位相减法”求和、数列的最大项的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定数列的通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查了逻辑思维能力及基本计算能力等.
26．如图，设椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点作与垂直的直线交轴负半轴于点，且.
（1）若过，，三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在满足的点且的取值范围是.
【解析】
【分析】
（1）设，由，，根据，求得，得出，，
又由圆与直线相切，得，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）由（1），设：，联立方程组，利用根与系数的关系求得，，再由菱形的对角线垂直，得到
，列出方程，求得，即可求解．
【详解】
（1）设，由，，则，，
∵，∴，.
由于，故，∴，即，
于是，.
又因为的外接圆圆心为，半径.该圆与直线相切，
所以∴.∴，.
∴所求椭圆方程为.
（2）由（1）知，设：，
由消掉，得.
设，，则，，
，
由于菱形的对角线垂直，故，
故，即，
即：，
由已知条件知且，∴，∴，
故存在满足的点且的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，同时涉及到向量的数量积的运算和菱形的性质的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
27．已知函数，.
（1）若，在上恒成立，求的取值范围；
（2）设数列，为数列的前项和，求证：；
（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）不存在.
【解析】
【分析】
（1）当时，，即，设，利用导数得到函数的单调性与最值，即可求得求解；
（2）由（1）得在上恒成立，令得，则，即可作出证明；
（3），设点的坐标是，，得到在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，根据，即，整理得，设，得到函数，，再令，，利用导数得到的单调性和最值，即可求解．
【详解】
（1）当时，，即，
设，则.
若，显然不满足题意；
若，则时，恒成立，
所以在上为减函数，有在上恒成立；
若，则时，，时，
所以在上单调递增．
∵，∴时，，不满足题意．
综上，时在上恒成立．
（2）由（1）得在上恒成立，
令有，，
则，
∴ ，
即.
（3），设点的坐标是，，且，
则点的中点坐标为，
在点处的切线斜率为，
在点处的切线斜率为，
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即.
所以
，
所以.
设，则，. ①
令，，则.
因为，所以，所以在上单调递增．
故，则.
这与①矛盾，假设不成立．
故不存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．