2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学（理）试题（解析版） 13页

‎2019-2020学年吉林省长春市榆树一中高一上学期尖子生第二次考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解出集合，再由并集的定义写出即可。‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 则．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。属于基础题 ‎2．已知函数，则的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．函数，所以；对应的函数值分别为：；所以函数的值域为：故答案为B．‎ ‎【考点】函数值域 ‎3．若向量=（1,2），=（3,4），则=‎ A．（4,6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎4．已知，则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，于是有 ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.‎ ‎5．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎6．设，向量，若，则等于( )‎ A． B． C．－4 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，且，‎ 所以，‎ 化为，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎7．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 将函数y=sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x－)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）－)= y=sin(x－)，故选C ‎8．函数的单调递增区间是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，‎ 令t=，则y=lnt，‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数；‎ y=lnt为增函数，‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，‎ 故选：D.‎ 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；‎ 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎9．函数y=sin2x的图象可能是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎10．如果角满足，那么的值是（ ）‎ A．-1 B．-2 C．1 D．2 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，．‎ ‎．故D正确．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系式．‎ ‎11．对于幂函数f(x)=，若0＜x1＜x2，则，的大小关系是( )‎ A．＞ B．＜‎ C．= D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查幂函数图象及性质。该函数在第一象限单调递减，又是偶函数，可画出其大致图象。利用数形结合易得答案为 A.‎ ‎12．已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是（ ）‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,‎ ‎【详解】‎ 首先函数定义域是R，再者根据和偶函数 在区间上单调递增，可得，解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查偶函数的性质.‎ 二、填空题 ‎13．方程有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原问题等价于与函数与函数有四个不同的交点，‎ 绘制函数的图象如图所示：‎ 观察可得，实数的取值范围为.‎ 点睛：函数零点的求解与判断：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎14．平面内有三个点，，，若，则x的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用平面向量共线的坐标表示直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，因为，∴，解得.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知平面向量共线求参数的值的问题，属基础题.‎ ‎15．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是____ __.‎ ‎【答案】y＝sin ‎【解析】∵向右平移个单位，∴用x－代替y＝sinx中的x；‎ ‎∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用x代替y＝sin中的x，∴y＝sin ‎16．已知，则函数的值域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先将已知不等式两边变成同底,利用指数函数的单调性解得的范围,即为函数的定义域,再根据二次函数的开口和对称轴可得函数的单调性,利用单调性可求得值域.‎ ‎【详解】‎ 由，得 ，，解得 . ‎ 又在上为增函数，所以.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用指数函数单调性解不等式,二次函数在指定范围内的值域,属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，，． ‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求满足的实数m，n；‎ ‎(3)若，求实数k.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)‎ ‎【解析】(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标；‎ ‎ (2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,.‎ ‎ (3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴ 解得 ‎（3）∵．‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.‎ ‎18．已知三个点A（2,1），B（3,2），D（－1,4）．‎ ‎（1）求证：⊥；‎ ‎（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明：可得，，，‎ ‎∴； （5分）‎ ‎(2)； （10分）‎ 该矩形对角线所夹的锐角的余弦值. （14分）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为已知A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，可结合问题，联系向量的坐标及垂直的性质，进行证明。‎ ‎（2）由题先设出C(x, y)，再借助=‎ ‎，建立方程可得C点坐标.由点的坐标，分别表示出所需的向量：=(-2，4)，=(-4，2)借助向量的乘法定义，可求出COSθ.‎ 试题解析：（1）、‎ ‎, ⊥‎ ‎（2）、设C(x,y),="(x+1,y-4)" ,由=,得x="0,y=5"C(0,5)‎ 设矩形ABCD两对角线AC,BD所夹锐角为θ ‎=(-2，4)，=(-4，2)=2 =2‎ COSθ==‎ ‎【考点】1.向量坐标及垂直的性质；2.向量相等及方程思想和向量的乘法；‎ ‎19．函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）写出的最小正周期及图中、的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1），，；（2）最大值0，最小值.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把看作一个整体，从而求出最大值与最小值.‎ ‎（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.‎ ‎（2）因为，所以，于是 当，即时，取得最大值0；‎ 当，即时，取得最小值.‎ ‎【考点】本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎20．设为奇函数，为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)（2）f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于已知函数是奇函数，根据奇函数的定义可得，结合对数的运算性质解方程可得的值；（2）由（1）得函数的解析式，设且，根据对数的性质，判断与的关系，进而根据单调性的定义，可得答案.‎ 试题解析：（1）∵为奇函数，∴对定义域内的任意都成立，∴，∴，解得或（舍去）‎ ‎（2）由（1）知：∵，设，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴在上是增函数 ‎21．已知函数.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，且，求的值；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用诱导公式可化简；‎ ‎（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；‎ ‎（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）.‎ ‎(2) ，因为，所以，可得，结合，，所以.‎ ‎（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.‎ 点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎22．已知定义在区间上的函数满足，且当时，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：为上的单调减函数；‎ ‎（3）若，求在上的最小值；‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）由定义在区间上的函数满足，当时，能求出．‎ ‎（2）设，则，由，知，当时，，由此能推导出在区间是减函数．‎ ‎（3）由，，知，，由在区间是减函数，求出在上的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）定义在区间上的函数满足，‎ 当时，．‎ ‎（2）是减函数，设＞0，则，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 在区间是减函数．‎ ‎（3），，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在区间是减函数，‎ 在上的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的函数值、单调性、最小值的求法，考查基本运算求解能力和转化与化归思想，求解时要注意利用赋值法判断函数的单调性和最值．‎