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- 2024-02-09 发布
2016-2017学年贵州省贵阳一中、凯里一中联考高三（上）适应性数学试卷（文科）（1）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（ ）
A．∅ B．{0} C．{﹣1} D．
2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1
3．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（ ）
A． B． C． D．
4．设点O在△ABC的内部，且有+2+3=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．96
8．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=1
9．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
11．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．﹣1 B． C． +1 D．2
12．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=
，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
13．等差数列{an}中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5b9= ．
14．函数y=的最小值是 ．
15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为 ．
16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）设函数f（x）=2sin（+x）cosx﹣（cosx﹣sinx）2．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x），求g（）的值．
18．（12分）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．
（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；
（2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．
19．（12分）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=，DE=2，且直线AE与CD所成角为，AB⊥CD．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．
20．（12分）函数f（x）=x2﹣mlnx﹣nx．
（1）当m=﹣1时，函数f（x）在定义域内是增函数，求实数n的取值范围；
（2）当m＞0，n=0时，关于x的方程f（x）=mx有唯一解，求实数m的取值范围．
21．（12分）平面直角坐标系的原点为O，椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max•|QF|min=．
（1）求椭圆的长轴与短轴之比；
（2）如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图所示，A为圆O外一点，AO与圆交于B，C两点，AB=4，AD为圆O的切线，D为切点，AD=8，∠BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E，F两点．
（1）求证： =；
（2）求DE•DF的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．
（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；
（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：
（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．
2016-2017学年贵州省贵阳一中、凯里一中联考高三（上）适应性数学试卷（文科）（1）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知P={y|y=cosθ，θ∈R}，Q={x|x2+（1﹣）x﹣=0}，则P∩Q=（ ）
A．∅ B．{0} C．{﹣1} D．
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：P={y|y=cosθ，θ∈R}=[﹣1，1]，，
∴P∩Q={﹣1}，
故选C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x﹣1 B．y=﹣2x+5 C．y=2x+1 D．y=2x﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程．
【解答】解：由题意，，所以曲线过点（1，3）处的切线斜率为k=3﹣1=2，
所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，
故选C．
【点评】本题考查曲线y=3x﹣lnx在点（1，3）处的切线方程，考查导数的几何意义，比较基础．
3．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（ ）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】先求出角α的终边上的点（﹣2，4）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义求出结果．
【解答】解：角α的终边过点（﹣2，4），，所以，
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．
4．设点O在△ABC的内部，且有+2+3=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】取D，E分别为AC，BC中点，由已知得，即=﹣2，从而确定点O的位置，进而求得△AOB的面积与△ABC的面积比．
【解答】解：取D，E分别为AC，BC中点，由已知得，
即=﹣2，即O，D，E三点共线，且O在中位线DE上，所以S△AOB=，故选C．
【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．
5．已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的性质得a1+an=70，从而得到，由此能求出结果．
【解答】解：因为 a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2，
所以3（a1+an）=94+116=210，
所以a1+an=70，
所以，
所以n=8．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
6．已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，而反之不成立．即可判断出．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知，
如果l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，
反过来则不一定，
所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，
故选B．
【点评】本题考查了面面垂直的判定定理、充分必要条件，属于基础题．
7．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．96
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．
【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，
AB=2，CD=4，AD=4，
棱锥的高为VD=4，
则该四棱锥的体积V==16，
故选：A
【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．
8．已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=1
【考点】圆的切线方程．
【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C的方程．
【解答】解：的焦点为（0，1），所以圆C为，
所以x2+（y﹣1）2=1，
故选：D．
【点评】本题考查圆C的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．
9．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，两名关系不错的甲和乙同学会被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】利用列举法求出甲乙两同学分班的所有情况和符合条件的各种情况，由此能求出这两名同学被分到同一个班的概率．
【解答】解：甲乙两同学分班共有以下情况：
（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），
其中符合条件的有三种，
所以这两名同学被分到同一个班的概率为p=．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数=在复平面上对应的点在y轴上，则a为（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由已知条件列出方程组，求解即可得答案．
【解答】解：，
又复数=在复平面上对应的点在y轴上，
∴解得a=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
11．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．﹣1 B． C． +1 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得
∴e4﹣8e2+4=0，
∴e2=4+2
∴e=+1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
12．函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．
【分析】求出g（x）的范围，利用存在实数n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，
存在n使得f（m）=g（n），
可得﹣1≤f（|m|）≤1，
即﹣1≤log2|m|≤1，
，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查函数的值域以及对数函数的性质，分段函数的应用，考查计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
13．等差数列{an}中，公差d≠0，且2a4﹣a72+2a10=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b5b9= 16 ．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的性质可把原式化简可得4a7﹣a72=0，从而可求a7，再由等比数列的性质可得b5•b9=b72，从而可求的答案．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a4+a10=2a7，
∴2a4﹣a72+2a10=4a7﹣2a72=0，
∴a7=0或a7=4．
∵{bn}为等比数列，
∴．
故答案是：16．
【点评】本题主要考查了等差数列（若m+n=p+q，则再等差数列中有am+an=ap+aq；在等比数列中有am•an=ap•aq）与等比数列的性质的综合应用，利用性质可以简化基本运算．
14．函数y=的最小值是 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．
【分析】将函数化为y=（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值．
【解答】解：函数y==
=+
=（+）+
≥2+=．
当且仅当=，即有x=0，取得等号．
则函数的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．
15．设a，b，c分别表示△ABC的内角A，B，C的所对的边， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），若a=，b=2，且⊥，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用平面向量共线的性质及正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，结合sinB≠0可求tanA，利用特殊角的三角函数值可求A，利用正弦定理可求sinB，根据同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：∵， =（a，﹣ b），=（sinB，cosA），
∴asinB﹣bcosA=0，
∴sinAsinB﹣sinBcosA=0．
又∵sinB≠0，
∴．
∵0＜A＜π，
∴A=，
∴．
∵a＞b，∴A＞B，∴，
∴，
∴△ABC的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．正方形ABCD边长为a，BC的中点为E，CD的中点为F，沿AE，EF，AF将△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三点重合于点S，则三棱锥S﹣AEF的外接球的体积为 ．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】要求三棱锥的体积先找出可以应用的底面和对应的高，这里选择三角形SEF做底面，得到结果．
【解答】解：由题意图形折叠为三棱锥，且由S出发的三条棱两两垂直，
补体为长方体，，，∴ =．
故答案为．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）（2016秋•贵州月考）设函数f（x）=2sin（+x）cosx﹣（cosx﹣sinx）2．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x），求g（）的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：（1）===．
由，求得，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y=2sin[2（x﹣）+]+1﹣=2sin2x+1﹣的图象；
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=g（x）=2sin4x+1﹣的，
∴g（）=0+1﹣=1﹣．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•贵州月考）某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的．
（1）在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；
（2）求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率．
【考点】几何概型．
【分析】（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，则x∈[10，30]，y∈[10，30]，作出正方形区域得答案；
（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，由线性规划知识求出可行域，利用面积比得答案．
【解答】解：（Ⅰ）用x，y分别表示小陈、小李到班的时间，
则x∈[10，30]，y∈[10，30]，
所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，
如图所示．
（Ⅱ）小陈比小李至少晚到5分钟，即x﹣y≥5，
对应区域为△BEF，
所求概率．
【点评】本题考查几何概型，体现了数学转化思想方法，关键是由题意作出图形，是中档题．
19．（12分）（2016秋•贵州月考）如图，AC=2，BC=4，∠ACB=π，直角梯形BCDE中，BC∥DE，∠BCD=，DE=2，且直线AE与CD所成角为，AB⊥CD．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥C﹣ABE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，利用线面垂直的判定得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定得平面ABC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）过E作EF⊥BC，连接AF，由（Ⅰ）可得，EF⊥平面ABC，且EF∥CD，CF=DE=2，进一步得到∠AEF为直线AE与CD所成角，然后求解直角三角形得AF=．进一步得EF=2，然后利用等积法求得三棱锥C﹣ABE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CD，又AB⊥CD，且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又CD⊂平面BCDE，
∴平面ABC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）解：如图，过E作EF⊥BC，连接AF，
由（Ⅰ）得，EF⊥平面ABC，
且EF∥CD，CF=DE=2，
∴．
在△ACF中， =12，
∴AF=．…（9分）
在Rt△AEF中，可得EF=2，
∴．
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质和判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
20．（12分）（2016秋•贵州月考）函数f（x）=x2﹣mlnx﹣nx．
（1）当m=﹣1时，函数f（x）在定义域内是增函数，求实数n的取值范围；
（2）当m＞0，n=0时，关于x的方程f（x）=mx有唯一解，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）将f（x）在定义域内是增函数转化为f'（x）=恒成立，再参数变量分离，根据对勾函数的性质求的最小值
（2）构造新的函数g（x）=x2﹣mlnx﹣mx，利用导数求出单调区间和最小值，方程有唯一解即函数g（x）只有一个零点，故g（x）min=0．由，消去m，得到关于x2的方程，再次构造函数，利用单调性解出x2，从而得到m的值
【解答】解：（1）当m=﹣1时，f（x）=x2+lnx﹣nx，
依题意有对x∈（0，+∞）恒成立，
只需．
因为，当且仅当时取等，
所以．
（2）设g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣mlnx﹣mx，依题意，g（x）=0有唯一解．
，
由x＞0，m＞0，解得（舍），．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增．
所以g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则有即
两式相减并化简得2lnx2+x2﹣1=0．
设h（x）=2lnx+x﹣1，易知h（x）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，
则h（x）=0恰有一解，即x2=1，
代入g（x2）=0得m=1．
【点评】本题主要考察导数的综合应用．第1问是基础题，第2问构造函数是解题的关键，综合性很强，难度较大
21．（12分）（2016秋•贵州月考）平面直角坐标系的原点为O，椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线PQ过F交椭圆于P，Q两点，且|PF|max•|QF|min=．
（1）求椭圆的长轴与短轴之比；
（2）如图，线段PQ的垂直平分线与PQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的性质可知|PF|max=a+c，|QF|min=a﹣c，可知，求得a2=4b2，长轴与短轴之比为2a：2b=2；
（2）设直线PQ的方程为y=k（x﹣c），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，由MD⊥PQ，可知：，求得D点坐标，根据三角形相似，可知： =，代入即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）设F（c，0），则|PF|max=a+c，|QF|min=a﹣c，…（2分）
则有，
由b2=a2﹣c2，
∴a2=4b2，…（3分）
∴长轴与短轴之比为2a：2b=2．…（4分）
（Ⅱ）由a：b=2，可设椭圆方程为．
依题意，直线PQ存在且斜率不为0，
设直线PQ的方程为y=k（x﹣c），P（x1，y1），Q（x2，y2），…
联立得（4k2+1）x2﹣8k2cx+4k2c2﹣4b2=0，
得．…（6分）
∴，…（7分）
∴．…（8分）
∵MD⊥PQ，设D（x3，0），
∴，
解得．…（9分）
∵△DMF∽△DOE，
∴，
的取值范围（，+∞）．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线垂直的充要条件，韦达定理及三角形相似综合应用，考查计算能力，属于中档题．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2016秋•贵州月考）如图所示，A为圆O外一点，AO与圆交于B，C两点，AB=4，AD为圆O的切线，D为切点，AD=8，∠BDC的角平分线与BC和圆O分别交于E，F两点．
（1）求证： =；
（2）求DE•DF的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由弦切角定理推导出△ABD∽△ADC，由此能证明=；
（2）由切割线定理得AD2=AB•AC，证明△DBE∽△DFC，由此能求出DE•DF的值．
【解答】（1）证明：∵AD为圆O的切线，∴∠ADB=∠DCA．…（2分）
又∠A为公共角，∴△ABD∽△ADC，…（4分）∴．…
（2）解：∵AD是圆O的切线，AC是过圆心的割线，
∴AD2=AB•AC，∴AC=16，则BC=12．…（6分）
又∵∠BDC是直角，∴BD2+CD2=BC2=144，
再由（Ⅰ），，∴，．…（7分）
连接BF，CF，∵∠BDF=∠CDF，∠DBE=∠DFC，
∴△DBE∽△DFC，∴，…（9分）
∴．…（10分）
【点评】本题考查两组线段比值相等的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016秋•贵州月考）在平面直角坐标系xOy中，圆P：（x﹣1）2+y2=4，圆Q：（x+1）2+y2=4．
（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆P和圆Q的极坐标方程，并求出这两圆的交点M，N的极坐标；
（2）求这两圆的公共弦MN的参数方程．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化，可得圆P和圆Q的极坐标方程，联立求出这两圆的交点M，N的极坐标；
（2）求出M，N的直角坐标，可得这两圆的公共弦MN的参数方程．
【解答】解：（1）圆P的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=3，…（1分）
圆Q的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ=3． …（2分）
联立
解得，cosθ=0，…（3分）
所以M，N的极坐标分别为，．…
注：极坐标系下的点，表示方法不唯一．
（2）M，N的直角坐标分别为，，…（7分）
所以公共弦MN的参数方程为．…（10分）
【点评】本题以圆的方程为载体，考查极坐标方程，比较基础．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016秋•贵州月考）（1）证明柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，并指出此不等式里等号成立的条件：
（2）用柯西不等式求函数y=2+4的最大值．
【考点】二维形式的柯西不等式．
【分析】（1）利用作差法，即可证明不等式；
（2）利用柯西不等式，可得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2d2+b2c2﹣2adbc…（2分）
=（ad﹣bc）2≥0，…（4分）
当且仅当ad﹣bc=0时，等号成立．…
（2）解：函数的定义域为[3，5]，且y＞0，…（6分）
则…（8分）
=，…（9分）
当且仅当时，等号成立，
即时函数取最大值．…（10分）
【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，属于中档题．