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- 2024-02-08 发布
2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的概念及其表示
1.最新考试说明：
(1)了解函数、映射的概念；
【2020 年河北高三】下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A． 32yx 与 2y x x B． 2
yx 与 yx
C． 11yxx 与 11yxx D． 2 21fxxx 与 2 21g t t t
【答案】D
【解析】因为选项 A 中，对应关系不同，选项 B 中定义域不同，对应关系不同，选项 C 中，定义域不同，
选项 D 中定义域和对应法则相同，故选 D.
【2020 河南高三模拟】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和
阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x R ，用 x 表示不超过 x
的最大整数，则 yx 称为高斯函数，例如： 3.54 ， 2.12 ，已知函数 1
12
x
x
efx e
，则
函数 yfx 的值域是__________
【答案】 1,0
【解析】
【分析】利用分离常数法求得 fx的值域，由此求得函数 的值域.
【详解】依题意 11111
1221
x
xx
efx ee
，由于 11xe，故 1111
2212 xe
，即 的
值域为 11,22
，所以函数 的值域是 .故填： .
【专家解读】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化
的数学思想方法，考查世界数学文化，属于基础题.
【2020 年高考上海卷 4】已知函数 3()fxx ，则其反函数为 ．
【答案】 1 3f x x
【解析】 3 3y x x y ，即其反函数是 ，故答案为： ．
【专家解读】本题考查了反函数解析式的解法，考查数学运算学科素养．解题关键是理解反函数的概念．
(2)理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法；
【2020 山东高三质检】已知函数 ()y f x 的部分图像如图，则 ()fx的解析式可能是（ ）
A． ( ) t a nf x x x B． ( ) 2sinf x x x
C． ( ) s i nf x x x D． 1()cos 2fxxx
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域排除 A，根据奇偶性排除 D，根据单调性排除 B，即可得出答案.
【详解】由图象可知，函数 在 R 上单调递增，且为奇函数，对 A 项，由于定义域不是 ，则 A 错误；
对 B 项，当 (0,)x 时， ( ) 1 2cosfx ， 2()00 3fxx ； 2()0 3fxx
则函数 在 (0 , ) 不是单调递增，则 B 错误；对 C 项， ()1cos0fxx ，则函数 在 上单调
递增，又 ( )2sin()2sin( )f xxxxxf x ，则函数 为奇函数，则 C 正确；对 D 项，
11()cos()cos( )22fxxxxxf x ，则函数 不是奇函数，则 D 错误；故选：C
【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.
【2020 年高考天津卷 3】函数 2
4
1
xy x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数
的图象．
【解析】由函数的解析式可得： 2
4
1
xfxfx x
，则函数 fx为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，选项 CD 错误；当 1x 时， 4 2011y
，选项 B 错误．故选 A．
【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想，
考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题．
【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值
域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对
称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
【2020 年高考北京卷 15】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改．设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 ()Wft ，用 ()()fbfa
ba
的大小评
价在 ,ab这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关
系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在 12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在 10, t ， 12,tt， 23,tt这三段时间中，在 10, t 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】∵ ()w f t 用 ( ) ( )f b f a
ba
来评价治污能力，而 是图像上两点连线的斜率，在 12[ , ]tt
上，甲的治污能力比乙强，故①对， 2t 时刻甲比乙强， 3t 时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在 1[0, ]t
时刻治污能力不是最强．
【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活运用，本题考查了函数图象及其性质的综合应用，考查数形结
合思想，考查数学运算、数学直观、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确接函数的图像及其性质解决问
题．
(3)会求一些简单函数的定义域;
【2020 年高考北京卷 11】函数 1( )= ln1f x xx
的定义域是__________．
【答案】 (0 , )
【解析】要使得函数 1()ln 1fxx x
有意义，则 10
0
x
x
，即 0x ，∴定义域为 ．
【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．
【2019 年高考江苏】函数 276yxx 的定义域是 ▲ .
【答案】 [ 1 , 7 ]
【解析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得 2760 xx ,
即 2 670xx ，解得 17x ，故函数的定义域为 [ 1,7 ] .
【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求
出它们的解集即可．
【2018 年高考江苏】函数 2log1fxx 的定义域为________．
【答案】[2，+∞）
【解析】要使函数 fx有意义，则需 2log 1 0x ，解得 2x ，即函数 fx的定义域为 2, .
【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开
方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
(4)分段函数及其应用：了解简单的分段函数，并能简单应用.
【2018 年高考浙江】已知 λ∈R，函数 f(x)= 2
4,
43,
xx
xxx
，当 λ=2 时，不等式 f(x)<0 的解集是
___________．若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是___________．
【答案】(1,4)； 1 ,3 4 ,
【解析】由题意得 2
40
x
x
或 2
2
4 3 0
x
xx
，所以 24x 或 12x，即 14x，故不等式 f(x)<0
的解集是 1,4 , 当 4 时， 40f x x ，此时 2 430,1,3fxxxx ，即在 , 上有
两个零点；当 4 时， 40,4fxxx ，由 2 43fxxx 在 , 上只能有一个零点得
13.综上， 的取值范围为 .
【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，
再对应确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思
路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【2018 年高考江苏】函数 fx满足 4fxfxx R ，且在区间 2 , 2 上，
πcos ,0 2,2
1 , 2 0,2
x x
fx
xx
则 15ff 的值为________．
【答案】 2
2
【解析】由 4f x f x 得函数 fx的周期为 4，所以 111516 111, 22fff
因此 1 π 215 cos .2 4 2f f f
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式
求值，当出现 f f a 的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切
记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
2.命题方向预测：
预计 2017 年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主，
题型延续选择题、填空题的形式，分值为 4 分或 5 分.
3.课本结论总结：
中学数学的很多领域都涉及定义域，忽视定义域将对后续的复习带来困难，由函数的解析式求函数的定义
域的解题过程可总结为：考察 整合 化简 结论，即先对解析式中的各部位进行必要的考察，得到自
变量 x 应满足的条件，再把上述条件整合成自变量 x 应满足的不等式（组），解这个不等式（组）得到的解
集即为函数的定义域.
4.名师二级结论：
形如 21yaxbx 的函数的值域的求法：可令 cos(0)x 或 sin() 22x ，利用
三角换元求解，如果是更复杂的式子，如： 2yaxbcmnx ，可令 cos(0)mx n ，
2yaxbcmnx ，可令 tanmx n 利用三角公式或其他方法解决.
5.课本经典习题：
(1)新课标 A 版第 17 页，例 1 已知函数 1()3 2fxx x
，
（1）求函数的定义域；（2）求 ( 3)f ， 2()3f 的值；（3）当 0a 时，求 ()fa， ( 1)fa 的值
【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结，也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义
域内某一值时，函数值的求法.
(2)新课标 A 版第 18 页，例 2 下列函数中哪个与函数 yx 相等？
（1） 2()yx ；（2） 3 3yx ；（3） 2yx ；（4）
2xy x .
【经典理由】给出了函数相等的定义，并对如何判断两个函数相等作出了总结.
6.考点交汇展示：
(1)函数与方程相结合
1.【2020 年广东省惠州市高三】函数
2
2
3
32() 2log(1)
x xfx xx
，若 ( ) 1fa ，则 a 的值是（ ）
A．2 B．1 C．1 或 2 D．1 或﹣2
【答案】A
【解析】若 2a ，则由 ( ) 1fa 得， 231a ，∴ 2a ．此时不成立．
若 2a ，则由 ( ) 1fa 得， 2
3log ( 1) 1a ，∴ 2a ，故选 A．
2．（ 2020·陕西省高三三模（文））定义域和值域均为[﹣a，a]（常数 a＞0）的函数 y＝f（x）和 y＝g（x）的
图象如图所示，方程 g[f（x）]＝0 解得个数不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为 [,]xaa 时， ( ) 0g x 有唯一解，不妨设唯一解为 k ，由 ()gx图象可知 (0,)ka ，
则由 g[f（x）]＝0 可得 ()fxk ，因为 ，由 ()fx图象可知， 可能有 1 根，2 根，3 个根，
不可能又 4 个根，
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中
档题.
【例】（2020·广东省高三）己知函数 3 sinf x x x ，
1 1,0 2
ln1 ,0
xxgx
xx
，若关于 x 的方程
0fgxm 有两个不等实根 1x ， 2x ，且 12xx ，则 21xx 的最小值是（ ）
A．2 B．3 ln 2 C． 4 2ln 2 D．3 2ln 2
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出函数 fx的奇偶性和单调性，令 t xg ，由题意结合函数 y g x 的图象即可知
f t m 仅在 0,1 上有一解，再根据 的解析式求出 1x ， 2x ，得到 21 21tx x e t ，然后
构造函数 21,0,1ttett ，利用导数即可求出函数的最小值．
【详解】因为函数 的定义域为 R ，且 3 sinfxxxfx ，所以函数 为奇函数．考
虑函数 在 0,x 上的单调性，由于 23 cosf x x x ，当 0 ,1x ，cos 0x ，
∴ 23cos0fxxx ；当 1,x 时， 233x ， 1 c o s 1 x ，∴ ，即
当 时，总有 0fx ．故函数 在 上单调递增，而函数 为奇函数，即函
数 在 上递增．令 ，作出函数 的图象，如图所示：
由图以及题意可知， 仅在 上有一解，即 0 ,1t ．由 解得， 1 21xt，
2 1txe，即有 ．设 ，∵ 2tte ，∴当 0,ln2t
时， 0t ，当 ln2,1t 时， 0t ．所以， min ln 232ln 2 ．
【点睛】本题主要考查函数的性质奇偶性和单调性的应用，方程的根与两函数的图象的交点之间的关系应
用，以及利用导数求函数的最值，意在考查学生的转化能力，直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
(2)函数与不等式相结合
1．（ 2020·安徽省高三其他（文））已知函数
1
1
2 , 1()
2 , 1
x
x
xfx
x
，若 2(2 2) 2f x f x x ，则实数 x 的
取值范围是（ ）
A．[ 2, 1] B．[1, )
C． D．( , 2] [1, )
【答案】D
【解析】函数
1
1
2,1()
2,1
x
x
xfx
x
…
，画出函数 ()fx的图象知， 关于 1x 对称，且在 [1 ， ) 上是单调
减函数；
f 2(22)(2)xfxx… ，且 22172()1 24xxx 恒成立， 2| 221|21xxx „ ，即
2|23|1xxx „ ，当 3
2x… 时，不等式化为： 22 3 1x x x „ ，即 2 3 4 0xx… ，解得 x R ，即 ；
当 3
2x 时，不等式化为： 2321 xxx„ ，即 2 20xx… ，解得 2x „ 或 1x… ，即 或 31 2x „ ；
综上， 2(22)(2)fxfxx… 时，实数 x 的取值范围是 ( ， 2 ] [ 1 ， ．
【点睛】本题考查了函数对称性、单调性的判断与应用，以及分类讨论绝对值不等式和一元二次不等式的
解法，属于中档题．
(3)函数与集合相结合
1.【2020·浙江省温州中学高三】已知集合 {|ln1 }Axyx ， {|1}Bxyx ，则（ ）
A． AB B． AB C． AB D． A B R
【答案】B
【解析】
【分析】令 10x ， 10x 可对两个集合进行化简，即可选出正确答案.
【详解】令 ，解得 1x ，即 {|1}Axx；令 ，解得 1x ，即 { | 1}B x x.所以 AB ，
A 错误； ，B 正确； 1,AB ，C 错误； 1,ABR ，D 错误.
2．设函数 2logayaxxa 的定义域是 R 时，a 的取值范围为集合 M；它的值域是 R 时，a 的取值范
围为集合 N，则下列的表达式中正确的是（ ）
A. M⊇N B. M∪N=R C. M∩N=∅ D. M=N
【答案】C
【解析】由题意得 0, 1aa ,由函数 2logay ax x a 的定义域是 R 得 0ax x a 恒成立,即
2 110, 0 1 4 0 , ,22a a a M
，由函数 2logay ax x a 的值域是 R 得
u a x x a 取遍 0, 上每个值,所以 110,000, 22aaN
,因此 M∩N=∅,选 C.
【考点分类】
热点 1 函数的定义域和值域
1.函数
1)(log
1)( 2
2
x
xf 的定义域为（ ）
A. )2
1,0( B. ),2( C. ),2()2
1,0( D. ),2[]2
1,0(
【答案】C
【解析】由已知得 2
2(log)10,x 即 2log1 x 或 2log-1x ，解得 2x 或 10 2x ，故选 .
2.已知函数 2(1)log(21)fxx ，那么 ()fx的定义域是（ ）
A． 1| 2xx
B． 1| 2xx
C． 2| 3xx
D． |0xx
【答案】B
【解析】由已知得 221 log 2 1 log 2 1 1f x x x ,所以函数 2log21fxx ,则有
1210 2xx ,故函数 fx的定义域为 1
2xx
.所以正确答案为 B.
3.已知函数 fx的定义域为 1,0 ，则函数 21fx 的定义域为（ ）
A. 1,1 B. 11, 2
C. 1,0 D. 1 ,12
【答案】B
【解析】函数 fx的定义域为 1,0 ，则函数 21fx 中 2 1 1,0x .解得 11, 2x
.
故函数 21f 的定义域为 11, . 2
故选 B.
4.若函数 6,2,
3log,2,a
xxfx xx
（ 0a 且 1a ）的值域是 4, ，则实数 a 的取值范围
是 ．
【答案】 (1,2 ]
【解析】当 2x ，故 64x ，要使得函数 ()fx的值域为 ，只需 1 ( ) 3 l o g af x x （ 2x ）
的值域包含于 ，故 1a ，所以 1 ( ) 3 l o g 2 afx ，所以 3 l o g 2 4a，解得 12a，所以实数
的取值范围是 ．
【方法规律】与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由 ()fx的定义域确定函数 [ ( ) ]f g x 的定义域或由 的定义域确定
函数 的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般
有：(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0:(4)实际问题还需要考虑
使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对
数,偶次根式等的函数的定义域的求法
【易错点睛】求复合函数 ()y f t ， ()t q x 的定义域的方法：
①若 的定义域为( , )ab ，则解不等式得 ()aqxb即可求出 (())yfqx 的定义域；②若
( ( ))y f g x 的定义域为 ，则求出 ()gx的值域即为 ()ft的定义域，如第 4 题，首先根据条件 )(xf 的
定义域为 )0,1( ，可令 0121 x ，解得
2
11 x ，即 )12( xf 的定义域为 )2
1,1( .
热点 2 函数的解析式
1．（ 2020·江苏省扬中高级中学高二期中）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A． ()f x x 与 2()g x x B． ( ) | 1|f t t 与 ( ) | 1|g x x
C． ( ) ( 0)f x x x 与 2( ) log 2xgx D．
2 1() 1
xfx x
与 ( ) 1g x x
【答案】B
【解析】对于选项 A， ()g x x 与 ()f x x 对应法则不同，所以两者不是同一函数；对于选项 B，
( ) | 1|f t t 与 ( ) | 1|g x x 定义域和对应法则均相同，所以两者是同一函数；对于选项 C， 与
2( ) l o g 2 xgx 定义域不同，对应法则相同，所以两者不是同一函数；对于选项 D，
2 1() 1
xfx x
的定义
域为 1xx ，而 ( ) 1g x x 的定义域为 R ，定义域不同，所以两者不是同一函数；
【点睛】本题主要考查同一函数的判定，两个函数是同一函数要满足两个条件：一是定义域要相同；二是
对应法则要一致.侧重考查数学抽象的核心素养.
2.一次函数 g（x）满足 g[g（x）]=9x+8，则 g（x）是（ ）
A. g（x）=9x+8 B. g（x）=3x+8
C. g（x）=﹣3x﹣4 D. g（x）=3x+2 或 g（x）=﹣3x﹣4
【答案】D
【解析】设 2,g xkxb g g xk kxbbk xkbb =9x+8，所以 2 9,8,kkbb 解得
3, 2kb或 3,4kb ，所以 g（x）=3x+2 或 g（x）=﹣3x﹣4，选 D.
3．（ 2020·四川省三台中学实验学校高三开学考试（理））已知函数 (1)4fxx ，则 ()fx的解析式为
_________.
【答案】 2()23(1)fxxxx
【解析】令 11tx ，则 21xt ，故 214ftt 2 23(1)tt t 。
【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点。
4.【2017 浙江温州模拟】数列 {}na 是递增数列，且满足 1 ()nnafa ， 1 (0,1)a ，则 ()fx不可能是（ ）
A． ()fxx B． ()21 xfx C． 2( ) 2f x x x D． 2( ) log ( 1)f x x
【答案】B.
【解析】由题意可知， ()fx应满足：1.在(0,1) 上单调递增；2. ()f x x 对任意 (0,1)x 恒成立；
3. (0,1)x ， ()(0,1)fx ；显然，A，C 都符合题意，根据函数图象的可知，B，D 选项的两个函数图象关
于直线 yx 对称，∴B 选项不符合第 2 点，D 选项符合题意，故选 B.
【解题技巧】(1)配凑法：由已知条件 ( ( ) ) ( )f g x F x ，可将 ()Fx改写成关于 ()gx 的表达式，然后以 x 替
代 ()gx ，便得 ()fx的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 ( ( ) )f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于 与 1()f x
或 ()fx 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程组求出 ()fx.
【易错点睛】解决函数解析式问题，必须优先考虑函数的定义域，用换元法解题时，应注意换元前后的等
价性.
热点 3 分段函数
1．（ 2020·四川省高三其他（理））若函数 ln 2
lg,(0)
()
,(0)2
x
xx
fx x ex
，则 1
10ff
______．
【答案】 1
【解析】 11lg11010f
，
1lnln 2 211(1)1 22fee ， 1 110ff
，
【点睛】本题考查根据分段函数求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
2.设
],,[,
),,(,)( 2 axx
axxxf 若 4)2( f ，则 a 的取值范围为_____________.
【答案】 ( ,2 ]
【解析】由题意，若 2a ，则 (2)2f 不合题意，因此 2a ，此时 [,)xa 时， 2()fxx ，满足
(2)4f .
3.（2020·广东省高三二模（文））设函数 2log , 2
1, 2
xxfx
x
，则满足 12fxfx 的 x 的取
值范围是（ ）
A． ,1 B． 0, C． 1,0 D． ,1
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性求解．
【详解】∵函数 2log,2
1,2
xxfx
x
在 ( , 2 ] 上单调递减，在 [ 2 , ) 上为常数 1，所以由
( 1 ) (2 )f x f x 得
21
22
xx
x
，解得 1x ．
【点睛】本题考查函数的单调性，由单调性解函数不等式．掌握单调性的定义是解题关键．
4．（ 2020·吉林省松原市实验高级中学高三其他（理））已知函数 2
ln,0{ ,0
xxfx xaxx
，若方程
f x x a 有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．{ | 1 1aa 或 1}a B．{ | 1aa 或 01a或
C． 或 0}a D． { | 1aa 或
【答案】B
【解析】当直线 y x a 与曲线 lnyx 相切时，设切点为 ,l ntt，因为 1ln x x
，所以切线的斜率
1 1k t，所以 1t ，切点为 1,0 ，代入 得， 1a .又 0x 时， 2fxxax ，令
，得 2xaxax ，即 10xxa ，所以①当 时， ln0xxax 有 1
个实根，此时 100xxax 有 1 个实根，满足条件；
②当 1a 时， 有 2 个实根，此时 有 1 个实根，不满足条件；
③当 1a 时， 无实根，此时要使 有 2 个实根，应有 0a
且 1a ，即 0a 且 1a .综上所述，实数 的取值范围是 或 或 .
【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值
就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现
考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，
千万别代错解析式.
【解题技巧】求分段函数的值域，关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分
段函数的定义即可解决。求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在
另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注
意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性
等，它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之，“分段函数分段解决”，其核心思想是分类讨论，如
第 14 题，即通过 0x 或 0x 分类讨论，从而求解.
【热点预测】
1.设函数 x 2y = 4 - 的定义域 A ，函数 y=ln(1-x) 的定义域为 B ,则 AB =
（A）（ 1,2） （B） (1, 2 （C）（ -2,1） （D）[-2,1)
【答案】D
【解析】由 240x得 22x ，由 10x得 1x ，AB={|22}{|1}{|21}xxxxxx .
2、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 2
,f x x g x x B. 22 ,1fxxgxx
C. 2 ,fxxgxx D. 0,11fxgxxx
【答案】C
【解析】∵ fxx (x∈R)与 2
gxx (x⩾0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同
一函数；∵ 22 ,1fxxgxx 两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；
∵ 2 ,f x x x g x x ，且两个函数的定义域均为 R，∴C 中两个函数表示同一函数；f(x)=0，
11g x x x (x=1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数；
3.设函数 2
1
1 log (2 ), 1,
()
2 , 1,x
xx
fx
x
, 2( 2) (log 12)ff ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由已知得 2( 2) 1 log 4 3f ，又 2log121 ，所以 22log 12 1log 6
2(log 12)226f ，故
2( 2) (log 12) 9ff ，故选 C．
4．（ 2020·福建省高三其他（文））已知函数 ,0()
ln , 0
xexfx
xx
，则不等式 1() 2fx 的解集是（ ）
A．( , ln 2] (0, ]e B．( , ln 2)
C． (0 , ] e D．(,ln 2)(0,) e
【答案】A
【解析】当 0x 时，由 1() 2fx 得 1
2
xe ，两边取以 e 为底的对数得： ln 2x ，当 0x 时，由
得 1ln 2x ，解得 1
20 x e e ，综上 或 0 xe ，
5．（ 2020·天津耀华中学高三二模）函数 tansintansinyxxxx 在区间（
2
，3
2
）内的图象是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
2 tan, tansin{2sin, tansin
xxx
xxx
，分段画出函数图象如 D 图示，故选 D．
6．（ 2020·黑龙江省鹤岗一中高三）设函数 2 11
1
xaxfx
lnxx
， ，
， ，
若 1fxf 恒成立，则实数 a 的
取值范围为（ ）
A． 12， B． 02， C． 1 ， D． 2 ，
【答案】A
【解析】 若 恒成立， 1f 是 fx的最小值，由二次函数
性质可得对称轴 1a ，由分段函数性质得 2111aln ，得 02a，综上，12a，故选 A．
7．（ 2020·沈阳二中北校高三其他（文））已知函数
1 0()
ln 0
xxfx x
xx
，
，
，则关于 x 的方程
2 0f x f x a （ aR ）的实根个数不可能为（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【答案】A
【解析】当 0x＜ 时， 2
1 10fxfx x（ ） ＜ ， （ ）在 0（ ，）上是减函数，当 0x＞ 时，
01
1
lnxxfxlnxfx lnxx
，＜ ＜（ ） ， （ ）， 在 01（ ，） 上是减函数，在
[1 ， ）上是增函数，做出 fx（ ） 的大致函数图象如图所示：
设 f x t （ ） ，则当 0t＜ 时，方程 有一解，当 0t 时，方程
有两解，当 t＞ 0 时，方程 有三解．由
2[]0fxfxa（ ） （ ） ， 得 2 0t t a ，若方程 2 0t t a 有两解
12tt， ，则 121tt， ∴方程 不可能有两个负实数根，∴方程 不可能有
2 个解．
8.记函数 29yx， 2ln6yxx 的定义域分别为 AB， ，则 AB__________．
【答案】 3 , 2 ( 或 { | 3 2 } )xx
【解析】求解不等式 290x可得 3,3A ，求解不等式 2 60xx 可得 ,23,B ，
则 3,2AB ( 或{|3 2})xx .
9.已知 ，求 =_______________.
【答案】
【解析】当 时， ，故答案为 .
10.【2020 届浙江省嘉兴市第一中学高三】设函数 ，则 ________；若 ，
则实数 的值为________．
【答案】 2
【解析】∵函数 ，∴ ，∴ .由 ，可知：
a＜ 时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得 a= ．当 a≥1 时，2a＞1，f（f（a）） =1，不成立；
当 时，f（f（a）） =1，23a﹣1=1，解得 a= ，（舍去）．综上 a= ．故答案为：2， ．
11.若函数
2
2
22,0{
,0
xxxfx
xx
, 2f f a ，则 a ________.
【答案】 2
【解析】当 a≤0 时，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f(f(a))<0，显然不成立；当 a>0 时，f(a)＝－a2，f(f(a))＝a4
－2a2＋2＝2，则 a＝± 2 或 a＝0，故 a＝ 2 .
12．（ 2020·梅河口市第五中学高三其他（文））已知函数 2log1 ,03
()
1,3
xx
fx
xx
,则使不等式
1
2f x f
成立的 x 的取值范围为___________________.
【答案】 1 ,32
【解析】 2
11log1222f
，由 得，当 03x时，由 2l og 1 2x ，得 1 32 x；
当 3x 时， 12x ，此时无解.综上所述，不等式 的解集为 .
13．（ 2020·山东省济宁一中高三一模）已知函数 21,2
152,2 x
xxfx x
，若 07fffa ，则
a ______．
【答案】 1
2 或 2l o g 1 3
【解析】因为 ，所以 (0 ) 1f ，当1()2fa时，由 可得：
1 ( ) 3fa，即 ()2fa ，不满足 ，当1 ( ) 2fa时， 可得
，即 当 2a 时， ()212faa ，解得 1
2a ，当 2a 时， ( )1522 afa ，
解得 2log13a ，综上， a 的取值为 或
14．（ 2020·江苏省南京师大附中高三其他）已知函数 2
4,() 2,
x x afx x x x a
，若对任意实数 b，总存在实数
0x ，使得 0f x b ，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】 [ 5,4 ]
【解析】作出函数 4yx、 2 2y x x 的图象如图所示：
根据题意，当 1a 时， 4 1 2a ，解得 5a ；当 1a 时， 242a a a ，解得 14a .
综上所述，实数 a 的取值范围是 .
15.已知函数 1)( xxg ，
3
1)( xxh ， ],3( ax ，其中 a 为常数且 0a ，令函数 )()()( xhxgxf ．
（1）求函数 )(xf 的表达式，并求其定义域；（2）当
4
1a 时，求函数 )(xf 的值域．
【答案】（1） 1() 3
xfx x
， ],0[ ax ， )0( a ；（ 2） ]13
6,3
1[
【解析】（1） ， ， ，
（2）函数 )(xf 的定义域为 ]4
1,0[ ，令 + 1 = tx ，则 2)1( tx ， ]2
3,1[t ，
tttt
ttFxf 42
1
42)()( 2
，
易证 ]2
3,1[t 时，
tt 4 单调递减， )(tF 单调递增， ]13
6,3
1[)( tF ，即函数 )( xf 的值域为 ．