数学理卷·2017届天津市五区县高三上学期期末考试（2017 16页

绝密★启用前 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试卷 温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.‎ 题 号 一 二 三 总 分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 得 分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷（选择题，共40分）‎ 注意事项：‎ ‎1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么．‎ 如果事件相互独立，那么．‎ 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.‎ 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（4）已知是钝角三角形，若 ‎，且的面积为，‎ 则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）设{}是公比为的等比数列，则 ‎ “” 是“{}为单调递增数列”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（6）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）在中，在上，，为中点，、相交于点，连结．设，则，的值分别为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（8）已知（其中，是自然对数的底数），当时，关于的方程恰好有5个实数根，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.‎ ‎2．本卷共12小题，共110分.‎ 二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为__________.‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为__________. （用数字作答）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________. ‎ ‎（12）在平面直角坐标系中，由曲线（）‎ 与直线和所围成的封闭图形的面积为 ‎__________.‎ ‎（13）在直角坐标系中，已知曲线 (为参数)，曲线 ‎ ‎(为参数，)，若恰好经过的焦点，则的值为__________. ‎ ‎（14）已知 若方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎ （II）当时，的最小值为2，求的值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．‎ ‎（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；‎ ‎（II）设为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.‎ P A B E C D ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为 直角梯形，，，，在上，且，侧棱平面.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）若为等腰直角三角形.‎ ‎（i）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（ii）求二面角的余弦值.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 已知数列的前项和（），（），数列的前项和为.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设（），求数列的前项和；‎ ‎（III）证明： （）.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，若以为直径的圆过点，求实数的值.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 已知函数（），函数的图象记为曲线.‎ ‎（I）若函数在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（II）若函数有两个零点，且为的极值点，求的值；‎ ‎（III）设曲线在动点处的切线与交于另一点，在点处的切线为，两切线的斜率分别为，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.‎ 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题:‎ ‎1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（I）函数 ‎， ……………………4分 ‎ 故函数的最小正周期为. ………………………6分 ‎（II）由题意得， ……………………10分 故，所以. ……………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，‎ 设事件A=“恰有1位女棋手”，则，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为.…………5分 ‎（II）随机变量的所有可能取值为其中 ‎，‎ ‎，‎ ‎. ………………………………9分 所以，随机变量分布列为 随机变量的数学期望. ………………………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）法一：∵△△，知，且 故.‎ 同理可得，且，,. ………2分 又∵平面∴ ……3分 而∴平面. ‎ 平面,故平面平面； ……4分 法二：∵平面∴ 又∵，故可建立建立如图所示坐标系.‎ 由已知，，，（）∴，，‎ ‎∴，.……3分，‎ ‎∴，，∴平面，平面,平面平面；……4分 ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，因为为等腰直角三角形，故，.‎ 设直线与平面所成的角为，则………8分 ‎（ii）设平面的一个法向量为，，‎ 由，∴，令，则， ………10分 ‎∴，. ………11分 ‎ 显然二面角的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为. ………13分（其他方法可酌情给分）‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（I）当时，，，‎ 两式相减：；‎ 当时，，也适合，‎ 故数列的通项公式为；. ………3分 ‎（II）由题意知：，，，‎ ‎，两式相减可得：， ……… 4分 即，‎ ‎，. ………7分 ‎（III），显然，‎ 即，； ………9分 另一方面，，‎ 即，，…，，，‎ 即：. ………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得.‎ 所以椭圆的方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）由题意知， ……………6分 设，则，得.‎ 且由点在椭圆上，得. ……………8分 若以为直径的圆过点，则， ……………9分 所以 ‎ ……………12分 因为点是椭圆上不同于的点，所以.‎ 所以上式可化为，解得. ……………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解法一:（I），当时 所以，而在处取得最小值，‎ 所以，；……………4分 ‎（II）因为为的极值点，‎ 所以，所以，‎ 又因为有不同的零点，所以，‎ 即，‎ 整理得：，‎ 所以．……………9分 ‎（III）满足条件的实数存在，‎ 由，‎ 知过 点与曲线相切的直线为：‎ ‎，且 将与联立即得点得横坐标，‎ 所以 即：‎ 整理得：‎ 由已知,所以 所以，即B点的横坐标为 所以过点B的曲线的切线斜率为 因此当且仅当 时，、成比例，‎ 这时 即存在实数，使为定值．……………14分 解法二：（I），当时，‎ 所以对任意的恒成立，故，‎ 即，故的取值范围是；…………… 4分 ‎（II）因为为的极值点，且有两个零点， ‎ 所以的三个实数根分别为，‎ 由根与系数的关系得；……………9分 ‎（III）满足条件的实数存在，因为，所以过点且与曲线相切的直线为：，其中.‎ 设与交于另一点，则必为方程的三个实数根 由得 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，‎ 所以 ，所以 所以 ‎.‎ 因此当且仅当 时，、成比例，‎ 这时，即存在实数，使为定值. ……………14分 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题:‎ ‎1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（I）函数 ‎， ……………………4分 ‎ 故函数的最小正周期为. ………………………6分 ‎（II）由题意得， ……………………10分 故，所以. ……………………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，‎ 设事件A=“恰有1位女棋手”，则，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为.…………5分 ‎（II）随机变量的所有可能取值为其中 ‎，‎ ‎，‎ ‎. ………………………………9分 所以，随机变量分布列为 随机变量的数学期望. ………………………………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）法一：∵△△，知，且 故.‎ 同理可得，且，,. ………2分 又∵平面∴ ……3分 而∴平面. ‎ 平面,故平面平面； ……4分 法二：∵平面∴ 又∵，故可建立建立如图所示坐标系.‎ 由已知，，，（）∴，，‎ ‎∴，.……3分，‎ ‎∴，，∴平面，平面,平面平面；……4分 ‎（Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，因为为等腰直角三角形，故，.‎ 设直线与平面所成的角为，则………8分 ‎（ii）设平面的一个法向量为，，‎ 由，∴，令，则， ………10分 ‎∴，. ………11分 ‎ 显然二面角的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为. ………13分（其他方法可酌情给分）‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（I）当时，，，‎ 两式相减：；‎ 当时，，也适合，‎ 故数列的通项公式为；. ………3分 ‎（II）由题意知：，，，‎ ‎，两式相减可得：， ……… 4分 即，‎ ‎，. ………7分 ‎（III），显然，‎ 即，； ………9分 另一方面，，‎ 即，，…，，，‎ 即：. ………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得.‎ 所以椭圆的方程为. ……………5分 ‎（Ⅱ）由题意知， ……………6分 设，则，得.‎ 且由点在椭圆上，得. ……………8分 若以为直径的圆过点，则， ……………9分 所以 ‎ ……………12分 因为点是椭圆上不同于的点，所以.‎ 所以上式可化为，解得. ……………14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解法一:（I），当时 所以，而在处取得最小值，‎ 所以，；……………4分 ‎（II）因为为的极值点，‎ 所以，所以，‎ 又因为有不同的零点，所以，‎ 即，‎ 整理得：，‎ 所以．……………9分 ‎（III）满足条件的实数存在，‎ 由，‎ 知过 点与曲线相切的直线为：‎ ‎，且 将与联立即得点得横坐标，‎ 所以 即：‎ 整理得：‎ 由已知,所以 所以，即B点的横坐标为 所以过点B的曲线的切线斜率为 因此当且仅当 时，、成比例，‎ 这时 即存在实数，使为定值．……………14分 解法二：（I），当时，‎ 所以对任意的恒成立，故，‎ 即，故的取值范围是；…………… 4分 ‎（II）因为为的极值点，且有两个零点， ‎ 所以的三个实数根分别为，‎ 由根与系数的关系得；……………9分 ‎（III）满足条件的实数存在，因为，所以过点且与曲线相切的直线为：，其中.‎ 设与交于另一点，则必为方程的三个实数根 由得 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，‎ 所以 ，所以 所以 ‎.‎ 因此当且仅当 时，、成比例，‎ 这时，即存在实数，使为定值. ……………14分