2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学（理）试题（Word版） 9页

‎2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欲证 成立，只需证( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的抽法共多少种( )‎ A.34 B.30 C.31 D.32‎ ‎4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )‎ A.都是奇数 B.都是偶数 C.中至少有两个偶数 D.中至少有两个偶数或都是奇数 ‎5.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是( )‎ A.在上为减函数 B.在处取得最大值 C.在上为减函数 D.在处取得最小值 ‎6.设，则( )‎ A. B. C. D.不存在 ‎7.已知函数(是自然对数的底数)，则的极大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.“”，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由推导到时，等式的右边增加的式子是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.设函数，观察下列各式：，，，，…，，…，根据以上规律，若，则整数的最大值为( )‎ A. B.8 C.9 D.10‎ ‎10.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( )‎ A.168种 B.156种 C.172种 D.180种 ‎12.若，函数有两个极值点，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，若(是虚数单位)，则__________.‎ ‎14.展开式中的系数为_____________.‎ ‎15.下图中共有__________个矩形.‎ ‎16.“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是__________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间.‎ ‎(2)若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列满足，且数列的前项和为，求.‎ ‎19.在中，内角所对的边分别是，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若的面积，且，求.‎ ‎20.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)设二面角的正切值为，，，求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎21.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)斜率为的直线交抛物线于不同两点，求证：.‎ ‎22.已知函数在点处的切线方程是.‎ ‎(1)求的值及函数的最大值；‎ ‎(2)若实数满足.‎ ‎(i)证明：；‎ ‎(ii)若，证明：.‎ 数学（理科）答案 ‎1-5 DCADC 6-10 CDDCC 11-12 BA ‎13 14. -14 15. 45 16.‎ ‎17.（1）令，解得或， ‎ 令，解得：. ‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为. ‎ ‎（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎∴， ‎ ‎∵对恒成立，‎ ‎∴，即，∴ ‎ ‎18.（1）当时，，‎ 又时，适合.‎ ‎（2）证明：由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎19.（Ⅰ）因为，所以由，‎ 即，由正弦定理得，‎ 即，∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，∴，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴ .‎ ‎20（1）证明：取的中点，连接，，‎ ‎∵侧面为平行四边形，∴为的中点，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则.‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）解：过作于，连接，‎ 则即为二面角的平面角.‎ ‎∵，，∴.‎ 以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，‎ 则，，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎21.（Ⅰ）由，所以椭圆在右焦点F(1,0)，‎ ‎∴，即p=2.‎ 所以抛物线C的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线.‎ 得，设，‎ 则，.‎ 又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，‎ 可得，所以.‎ 而，‎ 令t=b+3，则t>2.‎ 所以 ‎.‎ 当，即，时，等号成立.‎ ‎22.解：（Ⅰ）， ‎ 由题意有，解得． ‎ 故，，‎ ‎，所以在为增函数，在为减函数． ‎ 故有当时，． ‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎（ⅰ），‎ 由（Ⅰ）知，所以，即. ‎ 又因为（过程略），所以，故. ‎ ‎（ⅱ）法一：‎ 由（1）知 ‎ ‎ 法二：，‎ 构造函数，，‎ 因为，所以，‎ 即当时，，所以在为增函数，‎ 所以，即，故 ‎