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- 2024-02-03 发布
函 数 与 导 数
第14讲 函数的图象和性质
题型1 函数的图象判断
(对应 生用书第47页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
函数的图象包括作图、识图、用图，三者在 习中的侧重点为：
(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )
图141
[思路分析] 鳖臑的定义→找△BPD的高→建立函数f(x)的表达式→识别f(x)的图象．
[解析] 法一：(直接法)如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝，又＝＝＝，所以QR＝，所以PR＝＝
＝，所以f(x)＝
＝，故选A.
法二：(特殊位置法)由题意可知，当P位于AC的中点时f(x)取得最小值，又f(x)是非均匀变化的，故排除选项B，C，D，故选A.
[答案] A
【典题2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
[解析] ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，
故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)＜0，g′(2)＞0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
[答案] D
【典题3】 (考查函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
【导 号：07804099】
A．0 B．m C．2m D．4m
[解析] 因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以 (xi＋yi)＝m.
[答案] B
[类题通法] 函数图象的判断方法
(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．
(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)取特殊值代入，进行检验．
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1．已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
图
D [法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.]
2．如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→ C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是( )
图142
A [当x∈[0，π]时，y＝1.
当x∈(π，2π)时，＝－，设与的夹角为θ，||＝1，||＝2，由弧长公式得θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，x∈(π，2π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增，排除C，D.
当x∈[2π，4π)时，因为＝－，设，的夹角为α，||＝2，||＝1，由弧长公式得α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos x，x∈[2π，4π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T2、T6、T8、T11)
题型2 函数性质的综合应用
(对应 生用书第48页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
1．若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2.
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a＞0)
3．与函数对称性有关的三条结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；
特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)；
(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；
特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)；
(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1,0f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
【导 号：07804100】
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
[思路分析] 判断f(x)的奇偶性→判断f(x)的单调性→解关于x的不等式．
[解析] ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.]
2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
【导 号：07804101】
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
D [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
故选D.]
3. (2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
D [令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D.]
4. (2015·全国Ⅱ卷)如图144，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
图144
B [当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f ＝f ＝1＋，
f ＝2.∵2<1＋，
∴f