2018届二轮复习 　函数的图象和性质 学案（全国通用） 11页

函 数 与 导 数 第14讲　函数的图象和性质 题型1　函数的图象判断 ‎(对应 生用书第47页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ 函数的图象包括作图、识图、用图，三者在 习中的侧重点为：‎ ‎(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．‎ ‎(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．‎ ‎(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(　　)‎ 图141‎ ‎　　　　　　‎ ‎[思路分析]　鳖臑的定义→找△BPD的高→建立函数f(x)的表达式→识别f(x)的图象．‎ ‎[解析]　法一：(直接法)如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD.设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝，又＝＝＝，所以QR＝，所以PR＝＝ ‎＝，所以f(x)＝ ‎＝，故选A.‎ 法二：(特殊位置法)由题意可知，当P位于AC的中点时f(x)取得最小值，又f(x)是非均匀变化的，故排除选项B，C，D，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎【典题2】　(考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)‎ ‎[解析]　∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，‎ 又f(2)＝8－e2∈(0,1)，‎ 故排除A，B.‎ 设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.‎ 又g′(0)＜0，g′(2)＞0，‎ ‎∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，‎ ‎∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎【典题3】　(考查函数图象的应用)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　) ‎ ‎【导 号：07804099】‎ A．0 B．m　　　　C．2m　 D．4m ‎[解析]　因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以 (xi＋yi)＝m.‎ ‎[答案]　B ‎[类题通法] 函数图象的判断方法 ‎(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．‎ ‎(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎(5)取特殊值代入，进行检验．‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ 图 D　[法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；‎ 然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；‎ 再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.‎ 法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.]‎ ‎2．如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→ C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是(　　)‎ 图142‎ ‎　‎ ‎　‎ A　[当x∈[0，π]时，y＝1.‎ 当x∈(π，2π)时，＝－，设与的夹角为θ，||＝1，||＝2，由弧长公式得θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，x∈(π，2π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增，排除C，D.‎ 当x∈[2π，4π)时，因为＝－，设，的夹角为α，||＝2，||＝1，由弧长公式得α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos x，x∈[2π，4π)，所以函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T6、T8、T11)‎ 题型2　函数性质的综合应用 ‎(对应 生用书第48页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2.‎ ‎2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a＞0) ‎ ‎3．与函数对称性有关的三条结论 ‎(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；‎ 特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；‎ 函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)；‎ ‎(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；‎ 特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；‎ 函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)；‎ ‎(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；‎ y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1,0f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)‎ ‎【导 号：07804100】‎ A. B.∪(1，＋∞)‎ C. D.∪ ‎[思路分析]　判断f(x)的奇偶性→判断f(x)的单调性→解关于x的不等式．‎ ‎[解析]　∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为偶函数．‎ ‎∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，‎ 在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，‎ 根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.‎ ‎∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.]‎ ‎2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)‎ ‎【导 号：07804101】‎ A．[－2,2] B．[－1,1]‎ C．[0,4] D．[1,3]‎ D　[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．‎ ‎∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.‎ 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．‎ 又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，‎ ‎∴1≤x≤3.‎ 故选D.]‎ ‎3. (2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z D　[令t＝2x＝3y＝5z，‎ ‎∵x，y，z为正数，∴t＞1.‎ 则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.‎ ‎∴2x－3y＝－＝ ‎＝＞0，‎ ‎∴2x＞3y.‎ 又∵2x－5z＝－＝ ‎＝＜0，‎ ‎∴2x＜5z，‎ ‎∴3y＜2x＜5z.‎ 故选D.]‎ ‎4. (2015·全国Ⅱ卷)如图144，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 图144‎ B　[当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.‎ 当x∈时，f ＝f ＝1＋，‎ f ＝2.∵2<1＋，‎ ‎∴f