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- 2024-01-25 发布
2019 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了
代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑．
1．（4 分）下列各数中，比﹣1 小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
2．（4 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4 分）如图，△ABO∽△CDO，若 BO＝6，DO＝3，CD＝2，则 AB 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点 D，连
结 OD．若∠C＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（4 分）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（4 分）估计（2 +6 ）× 的值应在（ ）
A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间
7．（4 分）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲 得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包
里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为 50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱
数也为 50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，则可建立方程组为
（ ）
A． B．
C． D．
8．（4 分）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
9．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对
角线 BD∥x 轴，反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点
A（2，0），D（0，4），则 k 的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
10．（4 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树
活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4 的山坡 AB 上发现有一棵古树 CD．测得古
树底端 C 到山脚点 A 的距离 AC＝26 米，在距山脚点 A 水平距离 6 米的点 E 处，测得古
树顶端 D 的仰角∠AED＝48°（古树 CD 与山坡 AB 的剖面、点 E 在同一平面上，古树
CD 与直线 AE 垂直），则古树 CD 的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0 米 B．21.9 米 C．23.3 米 D．33.3 米
11．（4 分）若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x≤a，且关于 y 的分
式方程 ﹣ ＝1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
12．（4 分）如图，在△ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把△BDC 沿 BD 翻折，得
到△BDC'，DC′与 AB 交于点 E，连结 AC'，若 AD＝AC′＝2，BD＝3，则点 D 到 BC′
的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上．
13．（4 分）计算：（π﹣3）0+（ ）﹣1＝ ．
14．（4 分）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过 25600000
人次，请把数 25600000 用科学记数法表示为 ．
15．（4 分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的 3 个红球，2 个白球，1 个
黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，
则两次都摸到红球的概率为 ．
16．（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝60°，AB＝2，
分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部
分的面积为 ．（结果保留 π）
17．（4 分）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲
的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2 分钟时，甲也发现
自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立
即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 y（米）
与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回
到公司时，甲距公司的路程是 米．
18．（4 分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药
材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面
积之比 4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上
继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的 种植黄连，则黄连种植总面积将
达到这三种中药材种植总面积的 ．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3：
4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ．
三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应
的位置上．
19．（10 分）计算：
（1）（x+y）2﹣y（2x+y）
（2）（a+ ）÷
20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC
交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD 的度数；
（2）求证：FB＝FE．
21．（10 分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校
为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、
八年级中各随机抽取 10 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分
用 x 表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤
100），下面给出了部分信息：
七年级 10 名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级[来源:Zxxk.Com]
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 a，b，c 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？
请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共 730 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
（x≥90）的学生人数是多少？
22．（10 分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特
征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数
时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯
数”．
定义；对于自然数 n，在计算 n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个
自然数 n 为“纯数”，
例如：32 是”纯数”，因为计算 32+33+34 时，各数位都不产生进位；
23 不是“纯数”，因为计算 23+24+25 时，个位产生了进位．
（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于 100 的“纯数”的个数．
23．（10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象
研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平
移 的 方 法 画 出 了 所 学 的 函 数 图 象 ． 同 时 ， 我 们 也 学 习 了 绝 对 值 的 意 义 |a| ＝
．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 y＝|kx﹣3|+b 中，当 x＝2 时，y
＝﹣4；当 x＝0 时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函
数的一条性质；
（3）已知函 y＝ x﹣3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣
3|+b≤ x﹣3 的解集．
24．（10 分）某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80
平方米住宅套数的 2 倍．物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住
宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼
物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积
扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经
调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这
样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增
加 2a%，每户物管费将会减少 a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参
加活动的同户型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少 a%．这样，参加活动
的这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%，
求 a 的值．
25．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连结 AE，EM⊥AE，垂足为
E，交 CD 于点 M，AF⊥BC，垂足为 F，BH⊥AE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD
上一点，连接 CP．
（1）若 DP＝2AP＝4，CP＝ ，CD＝5，求△ACD 的面积．
（2）若 AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝ CM+2CE．
四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在
点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 E．
（1）连结 BD，点 M 是线段 BD 上一动点（点 M 不与端点 B，D 重合），过点 M 作 MN⊥
BD，交抛物线于点 N（点 N 在对称轴的右侧），过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，交 BD
于点 F，点 P 是线段 OC 上一动点，当 MN 取得最大值时，求 HF+FP+ PC 的最小值；
（2）在（1）中，当 MN 取得最大值，HF+FP+ PC 取得最小值时，把点 P 向上平移
个单位得到点 Q，连结 AQ，把△AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度 α（0°＜α＜360
°），得到△A′OQ′，其中边 A′Q′交坐标轴于点 G．在旋转过程中，是否存在一点
G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q′的坐标；若不存在，
请说明理由．
2019 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了
代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答
案所对应的方框涂黑．
1．（4 分）下列各数中，比﹣1 小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜2，
∴比﹣1 小的数是﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数
比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（4 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：
．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（4 分）如图，△ABO∽△CDO，若 BO＝6，DO＝3，CD＝2，则 AB 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ ＝ ，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴ ＝ ，
解得：AB＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
4．（4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点 D，连
结 OD．若∠C＝50°，则∠AOD 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得
出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵AC 是⊙O 的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形
的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．
5．（4 分）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，
本题熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
6．（4 分）估计（2 +6 ）× 的值应在（ ）
A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
【解答】解：（2 +6 ）× ，
＝2+6 ，
＝2+ ，
＝2+ ，
∵4 ＜5，
∴6＜2+ ＜7，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算，熟练掌握二次根式的计算法则是
关键．
7．（4 分）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，
乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包
里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为 50；而甲把其 的钱给乙，则乙的钱
数也为 50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，则可建立方程组为
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲的钱数为 x，人数为 y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；
而甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为 50”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，
此题得解．
【解答】解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，
依题意，得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
8．（4 分）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的是（ ）
A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
【分析】根据题意一一计算即可判断．
【解答】解：当 m＝1，n＝1 时，y＝2m+1＝2+1＝3，
当 m＝1，n＝0 时，y＝2n﹣1＝﹣1，
当 m＝1，n＝2 时，y＝2m+1＝3，
当 m＝2，n＝1 时，y＝2n﹣1＝1，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属
于中考常考题型．
9．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对
角线 BD∥x 轴，反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点
A（2，0），D（0，4），则 k 的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，4）．利用矩形的性
质得出 E 为 BD 中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出 E（ x，4）．
由勾股定理得出 AD2+AB2＝BD2，列出方程 22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出 x，得到 E 点
坐标，代入 y＝ ，利用待定系数法求出 k．
【解答】解：∵BD∥x 轴，D（0，4），
∴B、D 两点纵坐标相同，都为 4，
∴可设 B（x，4）．
∵矩形 ABCD 的对角线的交点为 E，
∴E 为 BD 中点，∠DAB＝90°．
∴E（ x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得 x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点 E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中
点坐标公式等知识，求出 E 点坐标是解题的关键．
10．（4 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树
活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4 的山坡 AB 上发现有一棵古树 CD．测得古
树底端 C 到山脚点 A 的距离 AC＝26 米，在距山脚点 A 水平距离 6 米的点 E 处，测得古
树顶端 D 的仰角∠AED＝48°（古树 CD 与山坡 AB 的剖面、点 E 在同一平面上，古树
CD 与直线 AE 垂直），则古树 CD 的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0 米 B．21.9 米 C．23.3 米 D．33.3 米
【分析】如图，根据已知条件得到 ＝1：2.4＝ ，设 CF＝5k，AF＝12k，根据勾股
定理得到 AC＝ ＝13k＝26，求得 AF＝10，CF＝24，得到 EF＝6+24＝30，根
据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，∵ ＝1：2.4＝ ，
∴设 CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝ ＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝10，CF＝24，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝ ＝ ＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树 CD 的高度约为 23.3 米，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是 学会添加常用辅
助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（4 分）若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x≤a，且关于 y 的分
式方程 ﹣ ＝1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
【分析】先解关于 x 的一元一次不等式组 ，再根据其解集是 x≤a，
得 a 小于 5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出 a 的值，
再求和即可．
【解答】解：由不等式组 得：
∵解集是 x≤a，
∴a＜5；
由关于 y 的分式方程 ﹣ ＝1 得 2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝ ，
∵有非负整数解，
∴ ≥0，
∴a≥﹣3，且 a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为 1．
故选：B．
【点评】本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素
较多，属于易错题．
12．（4 分）如图，在△ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把△BDC 沿 BD 翻折，得
到△BDC'，DC′与 AB 交于点 E，连结 AC'，若 AD＝AC′＝2，BD＝3，则点 D 到 BC′
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接 CC'，交 BD 于点 M，过点 D 作 DH⊥BC'于点 H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，
BD 垂直平分 CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出 DM＝1，C'M＝ DM
＝ ，BM＝2，在 Rt△BMC'中，利用勾股定理求出 BC'的长，在△BDC'中利用面积法求
出 DH 的长．
【解答】解：如图，连接 CC'，交 BD 于点 M，过点 D 作 DH⊥BC'于点 H，
∵AD＝AC′＝2，D 是 AC 边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD 垂直平分 CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝ ×60°＝30°，
在 Rt△C'DM 中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝ DM＝ ，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在 Rt△BMC'中，
BC'＝ ＝ ＝ ，
∵S△BDC'＝ BC'•DH＝ BD•CM，
∴ DH＝3× ，
∴DH＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面
积法求线段的长度．
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上．
13．（4 分）计算：（π﹣3）0+（ ）﹣1＝ 3 ．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算可得．
【解答】解：原式＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握 a﹣p＝ （a≠0，
p 为正整数）及 a0＝1（a≠0）．
14．（4 分）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过 25600000
人次，请把数 25600000 用科学记数法表示为 2.56×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值是易错点，由于 25600000 有 8 位，所以可以确定 n＝8﹣1＝7．
【解答】解：25600000＝2.56×107．
故答案为：2.56×107．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 n 值是关键．
15．（4 分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的 3 个红球，2 个白球，1 个
黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，
则两次都摸到红球的概率为 ．
【分析】先画树状图展示所有 30 种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有 30 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 6，
所以两次都摸到红球的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果
求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B
的概率．
16．（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝60°，AB＝2，
分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部
分的面积为 2 ﹣ π ．（结果保留 π）
【分析】根据菱形的性质得到 AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120
°，根据直角三角形的性质求出 AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即
可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝ AB＝1，
由勾股定理得，OB＝ ＝ ，
∴AC＝2，BD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
17．（4 分）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲
的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发 2 分钟时，甲也发现
自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立
即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程 y（米）
与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回
到公司时，甲距公司的路程是 6000 米．
【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的
时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程．
【解答】解：由题意可得，
甲的速度为：4000÷（12﹣2﹣2）＝500 米/分，
乙的速度为： ＝1000 米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为 4 分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12﹣2）﹣500×2+500×4＝6000（米），
故答案为：6000．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
18．（4 分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药
材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面
积之比 4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上
继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的 种植黄连，则黄连种植总面积将
达到这三种中药材种植总面积的 ．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到 3：
4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 3：20 ．
【分析】设该村已种药材面积 x，余下土地面积为 y，还需种植贝母的面积为 z，则总面
积为（x+y），川香已种植面积 x、贝母已种植面积 x，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用 y 的代数式分别表示 x、y，然后进行计算即可．
【解答】解：设该村已种药材面积 x，余下土地面积为 y，还需种植贝母的面积为 z，则
总面积为（x+y），川香已种植面积 x、贝母已种植面积 x，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得 x＝ ③，[来源:Zxxk.Com]
将③代入②，z＝ y，
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比＝ ，
故答案为 3：20．
【点评】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应
的位置上．
19．（10 分）计算：
（1）（x+y）2﹣y（2x+y）
（2）（a+ ）÷
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x+y）2﹣y（2x+y）
＝x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2
＝x2；
（2）（a+ ）÷
＝
＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式、单项式乘多项式，解答本题的关键
是明确它们各自的计算方法．
20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC
交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD 的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形
的性质求出∠ABC 即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB 即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，[来源:Zxxk.Com]
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
21．（10 分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校
为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、
八年级中各随机抽取 10 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分
用 x 表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤
100），下面给出了部分信息：
七年级 10 名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级 10 名学生的竞赛成绩在 C 组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 a，b，c 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？
请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共 730 人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀
（x≥90）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识
较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣ ）×100＝40，
∵八年级 10 名学生的竞赛成绩的中位数是第 5 和第 6 个数据的平方数，
∴b＝ ＝94；
∵在七年级 10 名学生的竞赛成绩中 99 出现的次数最多，
∴c＝99；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为 92 分，
但八年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝720× ＝468 人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是 468 人．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．[来源:Z|xx|k.Com]
22．（10 分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特
征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然 数
时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯
数”．
定义；对于自然数 n，在计算 n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个
自然数 n 为“纯数”，
例如：32 是”纯数”，因为计算 32+33+34 时，各数位都不产生进位；
23 不是“纯数”，因为计算 23+24+25 时，个位产生了进位．
（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于 100 的“纯数”的个数．
【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才
是“纯数”；
（2）根据题意可以推出不大于 100 的“纯数”的个数，本题得以解决．
【解答】解：（1）2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”，
理由：当 n＝2019 时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是 9+0+1＝10，需要进位，
∴2019 不是“纯数”；
当 n＝2020 时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是 0+1+2＝3，不需要进位，十位是 2+2+2＝6，不需要进位，百位为 0+0+0＝0，
不需要进位，千位 为 2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020 是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是 0，1，2，其他位的数字为 0，1，2，3 时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是 0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是 1，2，3，个位数是 0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数是，只能是 100，
由上可得，不大于 100 的“纯数”的个数为 3+9+1＝13，
即不大于 100 的“纯数”的有 13 个．
【点评】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，
利用题目中的新定义解答．
23．（10 分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象
研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平
移 的 方 法 画 出 了 所 学 的 函 数 图 象 ． 同 时 ， 我 们 也 学 习 了 绝 对 值 的 意 义 |a| ＝
．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数 y＝|kx﹣3|+b 中，当 x＝2 时，y
＝﹣4；当 x＝0 时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函
数的一条性质；
（3）已知函 y＝ x﹣3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣
3|+b≤ x﹣3 的解集．
【分析】（1）根据在函数 y＝|kx﹣3|+b 中，当 x＝2 时，y＝﹣4；当 x＝0 时，y＝﹣1，可
以求得该函数的表达式；
（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；
（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．
【解答】解：（1）∵在函数 y＝|kx﹣3|+b 中，当 x＝2 时，y＝﹣4；当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴ ，得 ，
∴这个函数的表达式是 y＝| x﹣3|﹣4；
（2）∵y＝| x﹣3|﹣4，
∴y＝ ，
∴函数 y＝ x﹣7 过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数 y＝﹣ ﹣1 过点（0，﹣1）和
点（﹣2，2）；
该函数的图象如右图所示，性质是当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大；
（3）由函数图象可得，
不等式|kx﹣3|+b≤ x﹣3 的解集是 1≤x≤4．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关
键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 解答．
24．（10 分）某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80
平方米住宅套数的 2 倍．物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住
宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼
物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积
扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经
调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这
样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增
加 2a%，每户物管费将会减少 a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参
加活动的同户型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少 a%．这样，参加活动
的这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%，
求 a 的值．
【分析】（1）设该小区有 x 套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x 套，根据物管费
90000 元，可列方程求解；
（2）50 平方米住宅有 500×40%＝200 户参与活动一，80 平方米住宅有 250×20%＝50
户参与活动一；50 平方米住宅每户所交物管费为 100（1﹣ %）元，有 200（1+2a%）
户参与活动二；80 平方米住宅每户所交物管费为 160（1﹣ %）元，有 50（1+6a%）
户参与活动二．根据参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共
缴纳的物管费将减少 a%，列出方程求解即可．
【解答】（1）解：设该小区有 x 套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x 套，由题意得：
2（50×2x+80x）＝90000，
解得 x＝250
答：该小区共有 250 套 80 平方米的住宅．
（2）参与活动一：
50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元，有 500×40%＝200 户参与活动一，
80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元，有 250×20%＝50 户参与活动一；
参与活动二：
50 平方米住宅每户所交物管费为 100（1﹣ %）元，有 200（1+2a%）户参与活动二；
80 平方米住宅每户所交物管费为 160（1﹣ %）元，有 50（1+6a%）户参与活动二．
由题意得 100（1﹣ %）•200（1+2a%）+160（1﹣ %）•50（1+6a%）＝[200
（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣ a%）
令 t＝a%，化简得 t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝ ，
∴a＝50．
答：a 的值为 50．
【点评】本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根
据等量关系列出方程是解题的关键．
25．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，连结 AE，EM⊥AE，垂足为
E，交 CD 于点 M，AF⊥BC，垂足为 F，BH⊥AE，垂足为 H，交 AF 于点 N，点 P 是 AD
上一点，连接 CP．
（1）若 DP＝2AP＝4，CP＝ ，CD＝5，求△ACD 的面积．
（2）若 AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝ CM+2CE．
【分析】（1）作 CG⊥AD 于 G，设 PG＝x，则 DG＝4﹣x，在 Rt△PGC 和 Rt△DGC 中，
由勾股定理得出方程，解方程得出 x＝1，即 PG＝1，得出 GC＝4，求出 AD＝6，由三角
形面积公式即可得出结果；
（2）连接 NE，证明△NBF≌△EAF 得出 BF＝AF，NF＝EF，再证明△ANE≌△ECM 得
出 CM＝NE，由 NF＝ NE＝ MC，得出 AF＝ MC+EC，即可得出结论．
【解答】（1）解：作 CG⊥AD 于 G，如图 1 所示：
设 PG＝x，则 DG＝4﹣x，
在 Rt△PGC 中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x，
在 Rt△DGC 中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即 PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S△ACD＝ ×AD×CG＝ ×6×4＝12；
（2）证明：连接 NE，如图 2 所示：
∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，[来源:学科网]
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF 和△EAF 中， ，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE 和△ECM 中， ，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF＝ NE＝ MC，
∴AF＝ MC+EC，
∴AD＝ MC+2EC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形
面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在
点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 E．
（1）连结 BD，点 M 是线段 BD 上一动点（点 M 不与端点 B，D 重合），过点 M 作 MN⊥
BD，交抛物线于点 N（点 N 在对称轴的右侧），过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，交 BD
于点 F，点 P 是线段 OC 上一动点，当 MN 取得最大值时，求 HF+FP+ PC 的最小值；
（2）在（1）中，当 MN 取得最大值，HF+FP+ PC 取得最小值时，把点 P 向上平移
个单位得到点 Q，连结 AQ，把△AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度 α（0°＜α＜360
°），得到△A′OQ′，其中边 A′Q′交坐标轴于点 G．在旋转过程中，是否存在一点 G，
使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q′的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）先确定点 F 的位置，可设点 N（m，m2﹣2m﹣3），则点 F（m，2m﹣6），
可得|NF|＝（2m﹣6）﹣（m 2﹣2m﹣3）＝﹣m 2+4m﹣3，根据二次函数的性质得 m＝
＝2 时，NF 取到最大值，此时 MN 取到最大值，此时 HF＝2，此时 F（2，﹣2），
在 x 轴上找一点 K（ ，0），连接 CK，过点 F 作 CK 的垂线交 CK 于点 J 点，交 y
轴于点 P，sin∠OCK＝ ，直线 KC 的解析式为：y＝ ，从而得到直线 FJ 的
解析式为：y＝ 联立解出点 J（ ， ）得 FP+ PC 的最小值
即为 FJ 的长，且|FJ|＝ 最后得出|HF+FP+ PC|min＝ ；
（2）由题意可得出点 Q（0，﹣2），AQ＝ ，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边
上的一半”取 AQ 的中点 G，连接 OG，则 OG＝GQ＝ AQ＝ ，此时，∠AQO＝∠
GOQ，把△AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度 α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，
其中边 A′Q′交坐标轴于点 G，则用 OG＝GQ'，分四种情况求解．
【解答】解：（1）如图 1
∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C
∴令 y＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3，令 x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点 D 为抛物线的顶点，且 ＝ ＝1， ＝ ＝﹣4
∴点 D 的坐标为 D（1，﹣4）
∴直线 BD 的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点 N（m，m2﹣2m﹣3），则点 F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当 m＝ ＝2 时，NF 取到最大值，此时 MN 取到最大值，此时 HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在 x 轴上找一点 K（ ，0），连接 CK，过点 F 作 CK 的垂线交 CK 于点 J 点，交 y
轴于点 P，
∴sin∠OCK＝ ，直线 KC 的解析式为：y＝ ，且点 F（2，﹣2），
∴PJ＝ PC，直线 FJ 的解析式为：y＝
∴点 J（ ， ）
∴FP+ PC 的最小值即为 FJ 的长，且|FJ|＝
∴|HF+FP+ PC|min＝ ；
（2）由（1）知，点 P（0， ），
∵把点 P 向上平移 个单位得到点 Q
∴点 Q（0，﹣2）
∴在 Rt△AOQ 中，∠AOG＝90°，AQ＝ ，取 AQ 的中点 G，连接 OG，则 OG＝GQ＝
AQ＝ ，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ 绕点 O 顺时针旋转一定的角度 α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边
A′Q′交坐标轴于点 G
①如图 2
G 点落在 y 轴的负半轴，则 G（0，﹣ ），过点 Q'作 Q'I⊥x 轴交 x 轴于点 I，且∠GOQ'
＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠ OAQ＝ ＝ ＝
∴sin∠IOQ'＝ ＝ ＝ ，解得：|IO|＝
∴在 Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点 Q'的坐标为 Q'（ ，﹣ ）；
②如图 3，
当 G 点落在 x 轴的正半轴上时，同理可得 Q'（ ， ）
③如图 4
当 G 点落在 y 轴的正半轴上时，同理可得 Q'（﹣ ， ）
④如图 5
当 G 点落在 x 轴的负半轴上时，同理可得 Q'（﹣ ，﹣ ）
综上所述，所有满足条件的点 Q′的坐标为：（ ，﹣ ），（ ， ），（﹣
， ），（﹣ ，﹣ ）
【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能
力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起
来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．