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- 2024-01-24 发布
宜昌金东方高级中学2017年秋季学期期末考试
高二数学试题（理）
命题：鲍立俊 审题： 周正
本试题卷共4页，六大题22小题。全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1.设复数（是正实数），且，则等于( )
A． B． C． D．
2．若直线：+与直线： 互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 1或
3.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面∥，，，则∥；命题：∥，⊥，，则⊥，则下列命题为真命题的是（ ）
A.或 B.且 C. 且 D. 或
4. 已知，由如右程序框图输出的( )
A． B． C． D．
5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
B．命题“”的否定是“，”；
C. 命题“若，则”的逆否命题是假命题；
D. 已知，命题“若是奇数，则这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.
6. 已知O为坐标原点，点A的坐标是，点在不等式组所确定的区域内（包括边界）上运动，则的范围是 （ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与双曲线交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．
8.图1是某地区参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高在[150，155内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
（ ）
A.i<6 B.i<7
C.i<8 D. i<9
9．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B. C． D．
10. 已知，直线和直线分别与圆
相交于和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11. 如图，已知正方体棱长为,点在棱上，且
，在侧面内作边长为的正方形,是侧面
内一动点且点到平面距离等于线段的长，则当点
运动时，的最小值是( )
A． B． C． D．
12. 若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
14. 过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
16. 已知双曲线的右焦点为，是双曲线C上的点，，连接并延长交双曲线C与点P，连接，若是以为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分)
17.(本小题10分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700
名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。
18．(本小题12分)已知抛物线C：．点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A,B两点。
(1)当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；
(2)设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求 的面积。
图（1）
图（2）
19. (本小题12分) 在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2(如图（1）)．将沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P(如图（2）)．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求二面角B—A1P—E的余弦值。
20. (本小题12分)已知命题P:函数的定义域为R；命题Q:不等式对任意实数恒成立。若是真命题，是假命题；求实数的取值范围。
21．(本小题12分) 已知圆圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线。
（1）求的方程;
（2）若过点（1,0）的直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有? 若存在，请说明理由。
22. (本小题12分) 已知函数为自然对数的底数), 。
（1）若且，求在上的最大值；
（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围；
（3）若，求使的图像恒在图像上方的最大正整数。
DCCDAB CCABAC
13. 14. 2 15 16.
17.(1)400人 （2）
18.
19.解:(1)在图（5）中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°，∴△ADF为正三角形．
又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图（6）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP； ………6分
(2)面EA1P的法向量=（,—1,0）；面BA1P的法向量=（，1,2）
所以cos＜，＞=……=，所以二面角B—A1P—E的大小的余弦值为………12分
20. 当P为真时：， 当Q为真时：，
21.解：（1）得圆的圆心为半径圆的圆心半径设圆的圆心为半径为因为圆与圆外切并与圆内切，所以 ………3分
由椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为
的椭圆（左顶点除外），其方程为. ………5分
（2）假设存在满足.设
联立 得，由韦达定理有①，其中恒成立， ………7分由(显然的斜率存在)，故即②，由两点在直线上，故 代入②得
即有
③ ………9分
将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当““时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有. ………12分
22. 解：（1）时， ，∴，
（2）
∴在上单调递减；在上单调递增；…………………5分
∴在上恰有两个相异实根，
，
∴实数的取值范围是； …………………7分
（3）由题设：， （）
∵,故在上单调递减；在上单调递增，
∴（），
设，则，
∴在上单调递增；在上单调递减， ……………10分
而，
且，
故存在使，
且时时
又∵，
∴时使的图象恒在图象的上方的最大正整数．…………12分