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- 2024-01-23 发布
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绵阳市高中2015级第一次诊断性考试
数学（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C．3 D．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米.
A．13 B．14 C．15 D．16
6．已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是
，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，给出以下结论：
①；②；③；④.
则其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知变量满足约束条件，则的最小值是 ．
14．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 ．
15．在中，，，，过点作，垂足为，若点满足，则 ．
16．已知数列的首项，其前项和满足，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在中，，是边上一点，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
18．已知是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列，记数列的前项和为.
（1）求；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
19．若函数的部分图象如下图所示.
（1）设，且，求的值；
（2）若，且的最大值为，求实数的值.
20．已知函数恰有三个极值点，且.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
21．已知函数，且.
（1）求；
（2）求证：当时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设，，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.
绵阳市高2015级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
DCDAC BACBD BC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3 14． 15． 16．3935
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理，
得， …………………………………………4分
∴ ，
∴ ． ……………………………………………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．
在△ACD中，由余弦定理：，
即， ……………………………………8分
整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分
∴ BC=BD+CD=4+2=6．
∴ S△ABC=．……………………12分
18．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，
由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，① ………………………2分
又∵ a1，a4，a13成等比数列，
∴ a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，化简得3d=2a1，② ……………4分
联立①②解得a1=3，d=2，
∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ……………………………………………………5分
∴ ，
∴ ．
……………………………………………………7分
(Ⅱ) ∵ +11，即，
∴ ，………………9分
又≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立，
∴ ≥162， ……………………………………………………11分
∴ ． ……………………………………………………………………12分
19． 解 ：（Ⅰ）由图得，． …………………………………………………1分
，解得，
于是由T=，得．…………………………………………………2分
∵ ，即，
∴ ，即，k∈Z，又，故，
∴ ． ……………………………………………………3分
由已知，即，
因为，所以，
∴ ．
∴
=
=． ………………………………………………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，
=
=
=，…………………8分
∵ x∈，于是0≤≤，
∴ 0≤≤1．………………………………………………………9分
①当时，当且仅当=0时，取得最大值1，与已知不符．
②当0≤≤1时，当且仅当=时，取得最大值，
由已知得=，解得．
③当>1时，当且仅当=1时，取得最大值4-1，
由已知得4-1=，解得=，矛盾．
综上所述，．……………………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）．
由题知方程=0恰有三个实数根，
整理得．………………………………………………………………1分
令，则，
由解得，由解得或，
∴ 在上单调递增，在上单调递减．………3分
于是当x=0时，取得极小值，
当x=2时，取得极大值． ………………………………5分
且当时，；当时，，
∴ ．…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由题意，=0的三个根为，且，
∴ 00，对求导可得．
由解得，由解得0<，
∴ 在(0， )上单调递减，在(，+∞)上单调递增，
∴ min==1-a． ………………………………………………4分
∴ 要使≥0恒成立，则须使1-a≥0成立，即≤恒成立．
两边取对数得，≤ln，整理得lna+-1≤0，即须此式成立．
令lna+-1，则，
显然当01时，>0，
于是函数在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增，
∴ min=0，
即当且仅当a=1时，min==0，≥0恒成立，
∴ 满足条件．
综上，a=1．……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知x>1时，>0，即>恒成立．
令(n∈N)，即>，
即， …………………………………………………8分
同理，
，
，
，
， …………………………………………………10分
将上式左右相加得：
．
……………………………………12分
22．解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，
即x2+y2-6x-8y=0． ……………………………………………………………2分
∴ C的极坐标方程为． …………………………………4分
（Ⅱ）把代入，得，
∴ ． ……………………………………………………………6分
把代入，得，
∴ ． ……………………………………………………………8分
∴ S△AOB
． ……………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）当x≤时，f(x)=-2-4x，
由f(x)≥6解得x≤-2，综合得x≤-2，………………………………………2分
当时，f(x)=4，显然f(x)≥6不成立，……………………………3分
当x≥时，f(x)=4x+2，由f(x)≥6解得x≥1，综合得x≥1， ……………4分
所以f(x)≥6的解集是．…………………………………5分
（Ⅱ）=|2x-1|+|2x+3|≥，
即的最小值m=4． ………………………………………………………7分
∵ ≤， …………………………………………………………8分
由可得≤，
解得≥，
∴ 的最小值为．………………………………………………10分
