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- 2024-01-23 发布
江苏省泰州中学2017-2018学年度月度检测
高三（数学）试卷（文科）
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.若集合，则 ．
2.若（为虚数单位），则的值为 ．
3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ．
4.如图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．
5.记函数的定义域为.若在区间上随机取一个数，则的概率为 ．
6.已知直线.若，则实数的值是 ．
7.已知向量，则和的夹角等于 ．
8.已知函数，若对任意，均满足，则实数的取值范围是 ．
9.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时， ．
10.如图，在梯形中，.若，则 ．
11.已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ．
12.已知，且，则的最小值是 ．
13.若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
14.在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在中，.
（1）求的值；
（2）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中.求的取值范围.
16. 已知函数.
（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解不等式.
17. 在中，内角所对的边分别为，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18. 如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.
（1）若，求的面积的最大值；
（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.
19. 已知圆与坐标轴交于（如图）.
（1）点是圆上除外的任意点（如图1），与直线交于不同的两点，求的最小值；
（2）点是圆上除外的任意点（如图2），直线交轴于点，直线交于点.设的斜率为的斜率为，求证：为定值.
20.已知函数，其中为常数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若是的一条切线，求的值；
（3）已知为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值.
试卷答案
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 或 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
三、解答题
15.（1）.
（2）建立如图所示的平面直角坐标，则.
设，
由，
得.
所以.
所以.
.
因为，
所以，当时，即时，的最大值为；
当或即或时，的最小值为.
16.解：（1）当时，.
.于是，即函数在上的最大值等于.
要使不等式在上恒成立，实数的取值范围是.
（2）不等式，即.
当时，原不等式等价于，解得或.又.
当时，原不等式等价于，即，解得，满足.
综上可知，原不等式的解集为或.
17.解：（1）解法1：在中，因为，所以.
因为，所以，即，所以.
又由正弦定理得，所以.
解法2：因为，所以.
因为，由正弦定理得，
所以，即.
又因为，解得，所以.
（2）因为，所以.
又，所以，所以.
因为，即，所以，
所以.
18.解：（1）以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则，
设，由得，
化简得.所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.（除去与轴的交点）
所以.
（2）设，由得.
令
令得
列表：略
在上单调递减，在上单调递增，
答：当时，有最小值，即最小.
19.解：（1）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为
由，解得；由，解得.
所以，直线与直线的交点，
直线与直线的交点，所以.
当时，，等号成立的条件是.
当时，，等号成立的条件是.
故线段长的最小值是.
（2）由题意可知，
的斜率为直线的方程为，由，得，
则直线的方程为，令，则，即，
直线的方程为，由，解得，
的斜率（定值）.
20.解：（1）函数的定义域为.
若时，则，所以在上单调递增；
若时，则当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增.
（2）设切点为则：
，解得.
（3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立.
令，则，
由（1）知，当时，在上递增.
因为，所以在上存在唯一零点，
所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则.
因为当时，，当时，，
所以在上的最小值为，所以
又因为，所以，所以.
又因为为整数且，所以的最大值是.