新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题+含答案 9页

2019—2020 学年新疆昌吉州第一学期期末质量检测 高二数学（理科）试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知 P： ，Q： , 则下列判断正确的是（ ） A．“P 或 Q”为真，“ p”为真 B．“P 或 Q”为假，“ p”为真 C．“P 且 Q”为真，“ p”为假 D．“P 且 Q”为假，“ p”为假 2. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．已知 ： ， ： ，那么 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线的准线方程是 ，则其标准方程是（ ） A． B． C． D． 5. 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6.两不重合平面的法向量分别为 ＝(1,0，－1)， ＝(－2，0,2)，则这两个 平面的位置关系是(　 　) A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D． 以上都不对[学 7. .双曲线 的离心率为（ ） A.2 B.3 C. D. 8.过点 的抛物线 的焦点坐标为（ ） 2π < 3π > ¬ ¬ ¬ ¬ A B= sin sinA B= sin sinA B≠ A B≠ sin sinA B= A B= A B= sin sinA B≠ A B≠ sin sinA B≠ p 3x = q 062 =−− xx p q 1 2x = − 2 2x y= 2 2y x= 2 2x y= − 2 2y x= − 2 2 12 3 x y k k + =− − k 2k < 3k > 2 3k< < 2k < 3k > 1v 2v 2 2 110 30 x y− = 2 3 ( )11， 2y ax= A． B． C． D． 9.如图所示，正四棱锥 P－ABCD 的底面积为 3， 体积为 2 2 ， E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为 (　　) A．π 6 B．π 4 C．π 3 D．π 2 10.已知两定点 ， ，曲线 C 上的点 P 到 、 的距离之差的绝对 值是 8，则曲线 C 的方程为（ ） A. B. C. D. 11.在正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，连接 ， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12．椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则△ 的面积为（ ） A． B． C． D． :二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13. 顶点在原点，对称轴是 轴，且焦点在直线 上的抛物线的标 准方程是 ; 14. 焦点在 轴上，虚轴长为 8，焦距为 10 的双曲线的标准方程是 ; 15. 直线 被曲线 截得的弦长为 ; 16. 设 ， 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 点 在 双 曲 线 上 ， 且 ，则△ 的面积为 ; 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（其中17 1 04  −  ， 1 4  −  0， 1 4     0， 1 04     ， 1(5,0)F 2 ( 5,0)F − 1F 2F 2 2 19 16 x y− = 2 2 116 9 x y− = 2 2 125 36 x y− = 2 2 125 36 y x− = ABCD E F AD BC AF CE AF CE 2 3 1 3 2 3 3 3 12449 22 =+ yx P 1F 2F 21FPF 20 22 28 24 y 3 4 24 0x y− − = y y x= 2 22 2x y+ = 1F 2F 2 2 14 x y− = P 1 2F P PF⊥ 1 2F PF 题10分，其它题12分） 17．已知命题 为真，求 x 的取值范围. 18．已知双曲线 的一条渐近线为: ,且 与椭圆 有相同的 焦点,求双曲线 的方程. 19.已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．(1) 若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段 AB 的中点 M 到 准线的距离． 20.已知椭圆 C 的焦点 F1（－ ，0）和 F2（ ，0），长轴长 6。(1)设直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。 (2) 求过点(0，2)的直线被椭圆 C 所截弦的中点的轨迹方程. 21. 正方体 的棱长为 ， 且 与 交于点 ， 为棱 中点，以 为 原 点 ， 建 立空间直角坐标系 ，如图所示， (1)求证： 平面 ； (2)若点 在 上且 ，试求点 的坐标； (3)求二面角 的正弦值. 22、如图，在四棱锥 中，底面 为正方 形 ，侧 棱 底 面 ， 为 棱 的 中 点 ， ． （Ⅰ）求证： ； pqxqxxp ∧¬>−<+− 若命题 ,04:,065: 2 C 02 =− xy C 11136 22 =+ yx C 1111 DCBAABCD − 2 AC BD O E 1DD A xyzA − ⊥OB1 EAC F EA AEFB ⊥1 F CEAB −−1 P ABCD− ABCD PA⊥ ABCD Q PD PA AB= AQ CD⊥ x A D B C E O yF z A1 D1 B1 C1 （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角 的余弦值． 高二理科数学答案 1. A 2. A 3. A 4. B 5. D 6. A 7A 8.C 9C 10. B 11.A 12D 13. 14. 15. 16.1 17. 18. PC ACQ C AQ D− − 2 24x y= − 1169 22 =− yx 4 3 3 19. 解：(1)因为直线 l 的倾斜角为 60°，所以其斜率 k＝ 3. 又 F(3 2，0)，所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x－3 2).联立{y2＝6x， y＝ 3(x－3 2)， 消去 y 得 x2－5x＋9 4＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p 2＋x2＋p 2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋ p＝x1＋x2＋3，所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3. 又准线方程是 x＝－3 2， 所以 M 到准线的距离为 3＋3 2＝9 2. 20. 21.解：（1）证明：由题设知各点坐标为 1 分 ∵ 是 正 方 形 的 中 心 ， ∴ ∴ ……3 分 ∴ ， 即 ， ∴ 平面 ……4 分 （2）由 点在 上，根据空间向量知识，可设点 的坐标为 ，……5 分 则 ……6 分 ∵ ∴ ……7 分 ∴ 即 ……8 分 （3）由（1）知 平面 ， 是平面 的一个法向量 )2,0,2(),1,2,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0( 1BEDCBA O ABCD )1,2,0(),0,2,2(),2,1,1(),0,1,1( 1 ==−−= AEACOBO    =×−+×+×−=⋅−−=⋅ =×−+×+×−=⋅−−=⋅ 01)2(2101)1,2,0()2,1,1( 00)2(2121)0,2,2()2,1,1( 1 1 AEOB ACOB AEOBACOB ⊥⊥ 11 , AEOBACOB ⊥⊥ 11 , ⊥OB1 ACE F AE F ),2,0( λλF )2,2,2(1 −−= λλFB AEFB ⊥1 025)1,2,0()2,2,2(1 =−=⋅−−=⊥ λλλAEFB 5 2=λ )5 2,5 4,0(F ⊥OB1 ACE ∴ 1 ( 1,1, 2)B O = − − ACE ， ， 设 是平面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ……9 分 设二面角 为 ，依题意，如图可知 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 ……10 分 ， ……11 分 故二面角 的正弦值为 . ……12 分 22、解：（Ⅰ）因为 底面 ， 底面 ， 所以 ， 正方形 中 ， 又因为 ， 所以 平面 ， ⊥PA ABCD ⊂CD ABCD CDPA ⊥ ABCD CDAD ⊥ AADPA = ⊥CD PAD (0,2,1)AE = 1 (2,0,2)AB = ( , , )n x y z= 1AEB 1 2 0 12 2 0 2 x zn AE y z y zn AB x z = − ⋅ = + = ⇔  = −⋅ = + =       1x = 1(1, , 1)2n = − 1 1 1 3 62cos , 3 66 2 B O nB O n B O n ⋅∴ = = = ⋅ ×      CEAB −−1 θ θ CBAA −− 1 6 6 6cos 6 θ = 2 30sin 1 cos 6 θ θ= − = CEAB −−1 6 30 因为 平面 ， 所以 ． …………….4 分 （Ⅱ）正方形 中 ，侧棱 底面 . 如图建立空间直角坐标系 ，不妨设 . 依题意，则 ， 所以 . 设平面 的法向量 ， 因为 ， 所以 . 令 ，得 ，即 ， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； ………………11 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 平面 ，所以 为平面 的法向量， 因为 ， 且二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 ． …………………14 分 ⊂AQ PAD CDAQ ⊥ ABCD ADAB ⊥ ⊥PA ABCD 2=AB ( ) ( ) ( )110022222 ,,AQ,,,AC,,,CP ==−−= ACQ =n ( )z,y,x    =+ =+ 0 022 zy yx 1=x    = −= = 1 1 1 z y x =n ( )111 ,,− PC ACQ 3 1 ⊥CD PAD ( )0,0,2=DC PAD DAQC −− DAQC −− 3 3 O xyz− (0,0,0), (2,2,0), (0,0,2), (0,1,1)A C P Q 0 0 AC AQ  = =     n n 1cos , 3| | | | CPCP CP < >= = ⋅    nn n 3cos , 3| | | | DCDC DC < >= = ⋅    nn n z y x Q A D C B P