2019届高考数学二轮复习第二篇通关攻略8函数与导数考题预测;精准猜押2 7页

‎2.8.5 导数与不等式及参数范围问题 考题预测·精准猜押 一、选择题 ‎1.定义在{x|x≠0}上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x)的导函数为f′(x),且满足f(1)=0,当x>0时,xf′(x)<‎2f(x),则使得不等式f(x)>0的解集为(　　)‎ A.(-∞,-1)∪(0,1)　 B.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)‎ ‎【解题导引】构造新函数g(x)=,结合题中条件求导得函数在(0,+∞)上单调递减,结合f(1)=0及函数为偶函数可解不等式.‎ ‎【解析】选D.令g(x)=,则x>0时,g′(x)=<0,‎ g(x)在(0,+∞)上递减,由f(1)=0,知f(x)>0可得01在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒成立,则实数k的取值范围为 (　　)‎ A.(-∞,-e)∪‎ B.(-∞,-2e)∪‎ C.∪‎ D.∪‎ ‎【解析】选A.依题意,‎ ‎-x>1⇔>x+1⇔或 令f(x)=,则f′(x)===-‎ 所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,‎ 当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,‎ 当x∈(0,2)时,f′(x)>0,‎ 当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,‎ 所以k>f(2)或k或k<-e.‎ ‎3.已知函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围为 ‎ (　　)‎ A.　 B.‎ C.　 D.‎ ‎【解析】选A.①x≤-2时,令m(x)=,m′(x)=<0恒成立,‎ 所以m(x)在(-∞,-2]上单调递减,‎ 其中m(-2)==-,‎ m(x)==-,‎ 所以a∈时,f(x)在(-∞,-2]上有一个零点,其他情况没有零点;‎ ‎②-2>sin ,由图可知,当a≤时,直线y=ax与曲线y=‎ tan 在[-3π,3π]上恒有三个交点.‎ 所以“关于x的方程ax+axcos x-sin x=0与方程sin x=0在[-3π,3π]上根的个数相等”时,a≤.‎ 故“a≤0”是“关于x的方程ax+axcos x-sin x=0与方程sin x=0在[-3π,‎ ‎3π]上根的个数相等”的充分不必要条件.‎ 二、填空题 ‎5.已知a<,f(x)=x(ex-1-a)-2ex-1+‎4a,关于x的不等式f(x)<0有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【解析】f(x)=x(ex-1-a)-2ex-1+‎4a<0,则(x-2)ex-10),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0. ‎ ‎(1)求a,b.‎ ‎(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x10矛盾,‎ 故a=1,b=1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)=(x+1)(ex-1), f(0)=0,f(-1)=0,‎ 设f(x)在(-1,0)处的切线方程为h(x),‎ 易得,h(x)=(x+1),令F(x)=f(x)-h(x),‎ 即F(x)=(x+1)(ex-1)-(x+1),‎ F′(x)=(x+2)ex-,‎ 当x≤-2时,F′(x)=(x+2)ex-<-<0,‎ 当x>-2时,‎ 设G(x)=F′(x)=(x+2)ex-,G′(x)=(x+3)ex>0,‎ 故函数F′(x)在(-2,+∞)上单调递增,又F′(-1)=0,‎ 所以当x∈(-∞,-1)时,F′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,F′(x)>0, ‎ 所以函数F(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,‎ 故F(x)≥F(-1)=0,f(x1)≥h(x1),‎ 设h(x)=m的根为x′1,则x′1=-1+,‎ 又函数h(x)单调递减,故h(x′1)=f(x1)≥h(x1),故x′1≤x1, ‎ 设y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=t(x),易得t(x)=x,‎ 令T(x)=f(x)-t(x)=(x+1)(ex-1)-x,T′(x)=(x+2)ex-2,‎ 当x≤-2时,T′(x)=(x+2)ex-2<-2<0,‎ 当x>-2时,设H(x)=T′(x)=(x+2)ex-2,H′(x)=(x+3)ex,‎ 故函数T′(x)在(-2,+∞)上单调递增,又T′(0)=0,‎ 所以当x∈(-∞,0)时,T′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,T′(x)>0, ‎ 所以函数T(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,‎ T(x)≥T(0)=0,f(x2)≥t(x2),‎ 设t(x)=m的根为x′2,则x′2=m,‎ 又函数t(x)单调递增,故t(x′2)=f(x2)≥t(x2),故x′2≥x2,又x′1≤x1,‎ x2-x1≤x′2-x′1=m-=1+.‎