2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版 18页

绝密★启用前 甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（ ）‎ A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 解：∵a，b互不相等且为虚数，‎ ‎∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，‎ a从剩余的6个选一个有6种，‎ ‎∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．‎ 故选C ‎2．不等式的解集是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.‎ ‎【详解】‎ 恒成立.‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.‎ ‎3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：‎ 甲 乙 丙 丁 ‎0.82‎ ‎0.78‎ ‎0.69‎ ‎0.85‎ ‎106‎ ‎115‎ ‎124‎ ‎103‎ 则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强。而残差越大，则相关性越小。可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强。‎ 考点：线性相关关系的判断。‎ ‎4．的展开式中的系数为 (　　)‎ A．80 B．40 C．20 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式展开式的通项公式得到系数.‎ ‎【详解】‎ 的展开式的通项公式为：‎ ‎ ‎ 当时，的系数为 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．下列四个不等式：①；②；③‎ ‎；④，其中恒成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①，当时等号成立，正确 ‎②，时不成立，错误 ‎③，时等号成立.正确 ‎④，时等号成立，正确 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.‎ ‎6．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位：)的数据，绘制了的折线图，已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是( )‎ ‎ ‎ A．每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关 B．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温 C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份 D．最低气温低于的月份有4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20，而5月份的最高气温为不超过20，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.‎ ‎7．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）‎ A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,故选C.‎ 考点：排列组合.‎ ‎8．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.‎ ‎【详解】‎ 当时： ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ 当时： ‎ 日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元 故 ‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎9．若对于实数x，y有，则的最大值是 (　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表示成，利用绝对值三角不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当或是等号成立.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值三角不等式，将表示成是解题的关键.‎ ‎10．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可。‎ 或 ‎，‎ ‎,可知 故答案选B.‎ 点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。‎ ‎11．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素的个数为 (　　)‎ A．60 B．100 C．120 D．130‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ 集合A中满足条件“”‎ 中取0的个数为2,3,4.‎ 则集合个数为： ‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键.‎ ‎12．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)‎ A．420 B．210 C．70 D．35‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ 按照的顺序：‎ 当相同时：染色方案为 ‎ 当不同时：染色方案为 ‎ 不同的染色方案为：种 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，且，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将1用代换,再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时等号成立.‎ 故答案为9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.‎ ‎14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，‎ 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，‎ 必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；‎ 有相互独立事件的概率乘法公式，‎ 可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，‎ 故答案为0.128.‎ 法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，‎ 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，‎ 必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；‎ 有相互独立事件的概率乘法公式，‎ 可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128‎ 考点：相互独立事件的概率乘法公式 ‎15． 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.‎ 考点：排列组合 ‎【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.‎ ‎16．设，若，则实数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将左右两边的函数分别求导，取代入导函数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 两边分别求导：‎ 取 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知不等式.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集为，求的范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）是 ‎【解析】试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.‎ 试题解析：（1）由已知，可得 当时，若，则，解得 若，则，解得 若，则，解得 综上得，所求不等式的解集为；‎ ‎（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，‎ 由（1）可得点，由此可得，即.‎ 所以，所求实数的范围为.‎ ‎18．已知函数的最小值为.‎ ‎（1）若，求证： ；‎ ‎（2）若 ， ，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，从而，要证明，只需证明，作差即可得证；（2）由题意，，展开后，利用基本不等式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）.‎ 要证明，只需证明，‎ ‎∵，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 可得.‎ ‎（2）由题意，，‎ 故，‎ 当且仅当，时，等号成立.‎ ‎19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：‎ 年份x ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 储蓄存款y（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)15.6千亿元 ‎【解析】‎ 试题分析：（I）将数据代入回归直线方程的计算公式，由此计算的回归直线方程为；（II），，代入得到；（III）将代入上式，求得存款为千亿.‎ 试题解析：‎ ‎（I），，，‎ ‎，‎ ‎（II），，代入得到：‎ ‎，即 ‎（III），‎ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 考点：回归分析.‎ ‎20．甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.‎ ‎(1)求的概率；‎ ‎(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，计算得到答案.‎ ‎(2) 甲队和乙队得分之和为4，则甲可以得1,2,3分三种情况，计算其概率，再根据条件概率公式得到结果，‎ ‎【详解】‎ ‎(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，‎ 故.‎ ‎(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，‎ 则η～ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎∴所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算和条件概率，意在考查学生的计算能力.‎ ‎21．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.‎ ‎（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？‎ ‎【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；‎ ‎（2）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3 ‎ ‎；；； ‎ 应聘者甲正确完成题数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 应聘者乙正确完成题数的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎（或∵∴） ‎ ‎（2）因为，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；‎ ‎ 从做对题数的方差考查，甲较稳定；‎ ‎ 从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大 ‎22．环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：‎ 空气污染指数 ‎(0，50]‎ ‎(50，100]‎ ‎(100，150]‎ ‎(150，200]‎ ‎(200，300]‎ ‎(300，＋∞)‎ 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量等级 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.‎ ‎(1)求频率分布直方图中m的值；‎ ‎(2)若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；‎ ‎(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 ‎11‎ ‎27‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎1‎ 根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ 空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 限行后 总计 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】(1) 0.003；(2)；(3) 有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，再利用概率和为1解得答案.‎ ‎(2)利用分层抽样得到空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天，利用排列组合公式的到没有中度污染的概率，用1减得到答案.‎ ‎(3)补全列联表，计算，跟临界值表作比较得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，‎ 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1， ‎ 由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003. ‎ ‎(2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，‎ 按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良的天气被抽取的有4天，空气中度污染的天气被抽取的有2天. ‎ 记事件A为“至少有一天空气质量是中度污染”.则 ‎ ‎ ‎(3)2×2列联表如下：‎ 空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 限行后 ‎38‎ ‎22‎ ‎60‎ 总计 ‎128‎ ‎112‎ ‎240‎ 由表中数据可得，，‎ 所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，分层抽样，列联表，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎