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- 2024-01-16 发布
南康中学2017～2018学年度第一学期高二第二次大考
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．点A (sin 2 019°，cos 2 019°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 在等比数列中，a2＝2，且，则的值为( )
A． 4 B．5 C．6 D．8
3. 若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有.则的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x
4．若在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)．则y与x之间的回归直线方程是( )
A．y＝x＋1.9 B．y＝1.04x＋1.9 C．y＝0.95x＋1.04 D．y＝1.05x－0.9
5．某公共汽车的班车在7:30,8:00,8:30三个时间发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则小明等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
6. 执行如图所示程序框图，则输出的结果是
A.
B.
C．
D．
7.已知满足（k为常数），若最大值为3，则=( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A． B．
C． D．
9． 抛一颗均匀的正方体骰子三次，则向上的面的点数依次成公差为1的等差数列的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
11. 过正方体的顶点A作直线，使直线分别与三条棱所成的角都相等，则这样的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知数列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，……，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，……，设是此数列的前项的和，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在答题卡中相应的横线上.
13. 已知向量，若向量与垂直，则
14. 在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则小于90的概率为
15. 已知圆，，动点在圆上运动，为坐标原点，则的最大值为
16. 在平面直角坐标系中,已知点A,B分别在轴上运动，且=2，点M在上，且满足，则的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
现有6道数学题，其中4道选择题，2道填空题，小明从中任取2道题，求
（1）所取的2道题都是选择题的概率。
（2）所取的2道题不是同一种题型的概率
18．（本小题满分12分）
的内角的对边分别为已知
（1）求角A和边长
（2）设为边上一点，且,求的面积
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为边上的高.
（1）证明：⊥平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）在线段PB上是否存在这样一点M,使得平面PAB?若存在，说出M点的位置。
20.（本小题满分12分）
某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
类型
类
类
类
已行驶总里程不超过万公里的车辆数
已行驶总里程超过万公里的车辆数
（1）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；
（2）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．
21. （本小题满分12分）
已知过点且斜率为的直线与圆C:交于M,N两点
（1）求的取值范围。
（2）若,(其中为坐标原点)，求直线的方程。
22.（本小题满分12分）
已知数列为公差不为的等差数列，为前项和，和的等差中项为，且．令数列的前项和为．
（1）求及
（2）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由
南康中学2017～2018学年度第一学期高二第二次大考[]
数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
B
D
B
A
A
A
D
A
二、填空题
13.7 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：设4道选择题编号为,2道填空题编号为,从中任取2题有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）共15种…………6分
(1)P= (2)P= ……10分
18.解：（1），， ……6分
（2），…12分
19. 解：（1），又平面，平面，
又，平面……… 4分
（2）是的中点，到平面的距离等于点到平面距离的一半，
即=，又因为，所以三棱锥；……… 8分
（3）取的中点，连接、，则因为是的中点，所以，且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，由（1）知平面，所以,又因为，所以，因为，所以平面，因为ED//DQ，所以面．M为PB中点……… 12分
20.解（1）P=…4分（2）…8分（3）P…12分
21.解（1）设直线方程：，得，……6分
（2）设代入得
==，得，直线的方程为……12分
22.解：（1）因为为等差数列，设公差为，则由题意得
整理得
所以……………3分
由
所以……………6分
（2）假设存在
由（Ⅰ）知，，所以若成等比，则有
………8分
，
因为，所以，……………10分
因为，当时，带入（1）式，得；
综上，当可以使成等比数列。……………12分