2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 word版 12页

黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试 理科数学试卷 考试时间:120分钟 分值:150分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)‎ A．10 B．‎5 C．－1 D．－ ‎3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是(　　)‎ ‎①平行于同一直线的两条直线平行；‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．‎ A．①②③ B．①③ C．① D．②③‎ ‎4．函数y＝x3－3x2－9x(－22，则f(x)>2x＋4的解集为( )‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ ‎12．设函数f′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )‎ A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知复数z＝－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________　象限．‎ ‎14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．‎ ‎15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．‎ ‎16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则＝＋，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：‎ ‎(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；‎ ‎(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．‎ ‎18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，‎ f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．‎ ‎19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：‎ ‎(1)函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)f(x)的单调递增区间．‎ ‎20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥SB；‎ ‎（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，‎ 求证：；‎ 求直线AM与平面所成角的正弦值．‎ ‎22．(本小题满分12分) 已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;‎ ‎(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.‎ ‎ 2019-2020学年度第一学期期末试题答案 高二理科数学试卷 考试时间:120分钟 分值:120分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：　∵z＝＝＝＝－i，‎ ‎∴复数z对应的点的坐标为，在第四象限．‎ 答案：　D ‎2．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)‎ A．10 B．5‎ C．－1 D．－ 解析：　f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－.‎ 答案：　D ‎3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是(　　)‎ ‎①平行于同一直线的两条直线平行；‎ ‎②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；‎ ‎③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．‎ A．①②③ B．①③‎ C．① D．②③‎ 解析：　类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．‎ 答案：　A ‎4．函数y＝x3－3x2－9x(－20；当x>－1时，y′<0.‎ 当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值．‎ 答案：　C ‎5．函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，1)‎ C． D．(1，＋∞)‎ 解析：　令y′＝8x－＝>0，即(2x－1)(4x2＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>.‎ 答案：　C ‎6．下列计算错误的是(　　)‎ A．sin xdx＝0 B．dx＝ C．cos xdx＝2cos xdx D．sin2xdx＝0‎ 解析：　由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．‎ 答案：　D ‎7．余弦函数是偶函数，f(x)＝cos(x＋1)是余弦函数，因此f(x)＝cos(x＋1)是偶函数，以上推理(C )‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．‎ ‎8.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=(　A　)‎ A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i ‎9.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(　D　)‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]‎ C.[2,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎10.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （A ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，‎ 则m′(x)＝f′(x)－2>0，‎ ‎∴m(x)在R上是增函数．‎ ‎∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，‎ ‎∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，‎ 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．‎ 答案：　B ‎12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(A)‎ A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－ 1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ 解析：记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知复数z＝－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________　象限．‎ 解析：　z＝－1＝－1＋i.‎ 答案：　二 ‎14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．‎ 解析：　设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，切线的斜率k＝y′|x＝a＝‎3a2＋‎6a＝－3，得a＝－1，代入到y＝x3＋3x2－5，得b＝－3，即P(－1，－3)，y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.‎ 答案：　3x＋y＋6＝0‎ ‎15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．‎ 解析：　由题意可知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝0‎ ‎∴b＝0，‎ ‎∴f(x)＝x2(x＋a)，有＝[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，∴a＝±3.‎ 又－a>0⇒a<0，得a＝－3.‎ 答案：　－3‎ ‎16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则＝＋，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是________．‎ 解析：　在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2①，由等面积法得ch＝ab，‎ ‎∴c2·h2＝a2·b2②，①÷②整理得＝＋.‎ 类比得，S＝S＋S＋S③，由等体积法得S△ABC·PO＝PA·PB·PC，‎ ‎∴S·PO2＝PA2·PB2·PC2④，‎ ‎③÷④整理得M＝N.‎ 答案：　M＝N 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5，求：‎ ‎(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；‎ ‎(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．‎ 解析：　(1)设切点为(x0，y0)，由y＝5，‎ 得y′|x＝x0＝.‎ ‎∵切线与y＝2x－4平行，‎ ‎∴＝2，∴x0＝，∴y0＝，‎ 则所求切线方程为y－＝2，即2x－y＋＝0.‎ ‎(2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5上，‎ 故需设切点坐标为M(x1，y1)，则切线斜率为.‎ 又∵切线斜率为，∴＝＝，‎ ‎∴2x1－2＝x1，得x1＝4.‎ ‎∴切点为M(4,10)，斜率为，‎ ‎∴切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.‎ ‎18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．‎ ‎[解析]　∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2.①‎ 又∵f ′(x)＝2ax＋b，∴f ′(0)＝b＝0②‎ 而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，‎ 取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，‎ 则F′(x)＝ax2＋bx＋c，‎ ‎∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③‎ 解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：‎ ‎(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．‎ 解析：　(1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－3)得a＋b＋1＝－3，‎ ‎∵f′(x)＝3ax2＋b，‎ 又f′(1)＝‎3a＋b＝0，‎ ‎∴由得，‎ ‎∴f(x)＝2x3－6x＋1.‎ ‎(2)∵f′(x)＝6x2－6，‎ ‎∴由f′(x)>0得x>1或x<－1，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．‎ ‎20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥SB；‎ ‎（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，‎ 又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，‎ 又SB⊂平面SAB，∴AC⊥SB．‎ ‎（Ⅱ）以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系，‎ 则A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），‎ ‎∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），‎ 设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，‎ ‎，∴，∴，‎ 令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），‎ cos＜，＞＝＝＝‎ 即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，‎ 求证：；‎ 求直线AM与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 则0，，2，，2，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，；‎ 轴面，面的法向量取0，，‎ 设直线AM与平面所成角为，‎ ‎，‎ 直线AM与平面所成角的正弦值为．‎ ‎22．(本小题满分12分) ‎ 已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;‎ ‎(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.‎ 解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),‎ 所以f'(x)=,f'(0)=2.‎ 又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.‎ ‎(2)令g(x)=f(x)-2,‎ 则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.‎ 因为g'(x)>0(0g(0)=0,x∈(0,1),‎ 即当x∈(0,1)时,f(x)>2.‎ ‎(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.‎ 当k>2时,令h(x)=f(x)-k,‎ 则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.‎ 所以当02时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.‎ 综上可知,k的最大值为2.‎