数学文卷·2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第三次月考试题（解析版） 18页

玉溪一中2018届高三上学期第三次月考 数学试题（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（在给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 已知集合，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎∴‎ 故选：A ‎2. 复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 复数在复平面内对应的点的坐标为 ‎∴复数在复平面内对应的点位于第四象限 故选：D 点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．‎ ‎3. 等差数列中，，前11项的和（ ）‎ A. 10 B. 12 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎∴，又 ‎∴‎ 故选：D ‎4. 已知向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴,解得：，即 ‎∴，∴的夹角为 故选：C ‎5. 圆截直线所得弦的长度为2，则实数（ ‎ ‎ ）‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：圆化为标准方程得，所以圆心为，半径，圆心到直线的距离，根据弦长为，有.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎6. 已知直线，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】若，则，解得：‎ 当a=1时，，二者重合 当时，，二者平行，‎ ‎∴“”是“”的充要条件 ‎7. 已知（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴，sin。‎ ‎，‎ 故选：D ‎8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，面积之和为，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8，‎ 故选B．‎ 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎9. 给出下列三个结论：‎ ‎ ①函数满足，则函数的一个对称中心为 ‎②已知平面和两条不同的直线，满足 ‎③函数的单调递增区间为 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①,由f(x+)=−f(x),得：f(x+π)=f(x)，‎ ‎∴f(x)的周期是π，ω=2，‎ ‎∴=2sin(2x+)，‎ 故x=时,f(x)=2，①错；‎ 对于②，或，②错；‎ 对于③，,得到单调增区间为，中间不能用“”连接.③错.‎ 故选：D ‎10. ，则函数的大致图像为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的定义域为，，则 为非奇非偶函数，排除B，C选项， ‎ 当时，，当时，，故选择A.‎ ‎11. 已知 是奇函数并且是上的单调函数，若只有一个零点，则函数的最小值为（ ）‎ A. 3 B. -3 C. 5 D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于函数为奇函数且单调，故等价于，即有唯一解，判别式为零，即，所以.‎ 考点：函数的单调性与奇偶性.‎ ‎12. 椭圆 上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，且，则该椭圆的离心率为（ 　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可知：四边形AF′BF为矩形，‎ ‎∴AB=F F′=2c 在RT△ABF中，易得：AF=2csin，BF=2ccos=A F′‎ 根据椭圆定义可知：AF+ A F′=2a 即2csin2ccos=2a，∴，‎ 故选：B．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知变量、满足约束条件,则的最大值为___________‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ 不等式组表示的平面区域如上图所示，表示直线在 轴上截距，当直线过时， 有最大值，为 。‎ 点睛：线性规划求解中注意的事项：(1)线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础。(2)目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。‎ ‎14. 是定义在上的函数，且满足，当，‎ 则_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由于，所以函数的周期为，所以.‎ 考点：函数的周期性.‎ ‎15. 已知三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为2，则该三棱柱的外接球的表面积为____________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为，高为2，‎ 由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，‎ ‎∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，表面积为：4πr2．球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为1，‎ 所以球的半径为r=,．外接球的表面积为：4πr2=8π 故答案为：8π．‎ 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎16. 已知数列满足，则______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得：，‎ ‎∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，即 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 在中，为锐角，角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）△ABC中，A、B为锐角，，，可求得cosA，cosB，利用两角和与差的余弦公式可求A+B的值；‎ ‎（2）由，利用正弦定理求得a，b的值，再由C=，利用余弦定理求c即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎（2）由（I）知，∴ 由得 ‎，即 又∵ ∴∴∴‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18. 假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：‎ 参考数据： .参考公式: ‎ 如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：‎ ‎ （1） （2）线性回归方程 ‎ ‎（3）估计使用10年时，维修费用是多少？‎ ‎【答案】（1） ；（2） ；（3）估计使用10年时，维修费用是12.38万元 ‎【解析】试题分析：（1）根据表中所给数据，带入平均数公式，易求出；‎ ‎（2）根据最小二乘法，结合（1）中结论，及已知中参考数据，代入回归系数求解公式，求出两个回归系数，可得回归方程 ‎（3）根据（2）中回归方程，将X=10代入，可得到一个维修费用的预报值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由表中数据可得，‎ ‎（2）由已知可得：‎ 于是 所求线性回归方程为：‎ ‎（3）由（2）可得， 当x=10时，（万元）．‎ 即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．‎ ‎19. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．‎ ‎(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；‎ ‎(2)设AB=PC=2,BC=1,求三棱锥P-BEF的体积. ‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ 试题解析：‎ 解　(1)直线l∥平面PAC.证明如下：‎ 连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.‎ 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC.‎ ‎(2). ‎ ‎20. 在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．‎ ‎(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.‎ ‎【答案】（1）8；（2）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；‎ ‎（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．‎ 试题解析：‎ ‎(1)解,　,‎ ‎ (2)证明　由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎21. 设函数 ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）证明：若存在零点，则在区间上有且仅有一个零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求单调区间和极值，先求定义域，再求导数 ，在上，的解为，探讨在和上的正负，确定 的单调性，极值；（Ⅱ）首先由零点存在，知最小值，从而，因此在是单调递减，且，因此结论易证．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得 ‎.‎ 由解得.与在区间上的情况如下：‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点．‎ ‎【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:‎ 求定义域→求导数f'（x）→求f'（x）=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'（x）在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性 当f（x）不含参数时,也可通过解不等式f'（x）>0（或f'（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间.‎ ‎2．零点存在定理：函数在上有定义，若，则在上至少有一个零点．如果函数在还是单调的，则零点是唯一的．‎ 选考题（本小题满分10分）‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （ 为参数），曲线C2的参数方程为为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 各有一个交点．当 时，这两个交点间的距离为2，当，这两个交点重合．‎ ‎（1）分别说明 是什么曲线，并求出与的值；‎ ‎（2）设当时， 与 的交点分别为 ，当时， 与 的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ ‎【答案】（1） 是圆， 是椭圆， ；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）有曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为 ‎ ‎ 试题解析：（1）是圆，是椭圆．‎ 当时，射线与，交点的直角坐标分别是因为这两点间的距离为2，所以 当，射线与，交点的直角坐标分别是因为这两点重合，所以；‎ ‎（2），的普通方程为 当时，射线与交点的横纵表是，与交点的横坐标是 当时，射线与，的两个交点分别与交点关于轴对称，因此四边形为梯形，故四边形的面积为．‎ 考点：1．参数方程化成普通方程；2．圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎23. 设a，b，c均为正数，且 ，证明：‎ ‎(1) ； (2) .‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由，，得：‎ ‎，由题设得，即 ‎，所以 ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎ ‎ ‎ ‎