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- 2024-01-14 发布
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21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 用一元二次方程解决传播问题
01 教学目标
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
02 预习反馈
阅读教材P19“探究1”，完成下面的探究内容．
问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析 ①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有(x＋1)人患了流感；
②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有1＋x＋x(1＋x)人患了流感．
则列方程1＋x＋x(1＋x)＝121，
解得x＝10或x＝－12(舍)，
即平均一个人传染了10个人．
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
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03 新课讲授
类型1 利用一元二次方程解决传播问题
例1 (教材P19探究1的变式题)某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【思路点拨】 设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数，从而可列出方程．
【解答】 设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．列方程，得
1＋x＋x(1＋x)＝81.
解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．
∴第三轮被感染的电脑为：81＋81×8＝729(台)．
∵729＞700，
∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
【方法归纳】 传播类问题规律：
(1)设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1＋x)n＝b；
(2)设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b.
【跟踪训练1】 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总数达24 000个．其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得
60(1＋x)2＝24 000.
解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．
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类型2 利用一元二次方程解决握手问题
例2 (教材补充例题)在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？
【思路点拨】 设李老师所教班共有x名学生，每个人都要和其他(x－1)个人握手一次，共握手x(x－1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手x(x－1)次．
【解答】 设李老师所教班共有x名学生，依题意有
x(x－1)＝780，
即(x－40)(x＋39)＝0，
解得x＝40或x＝－39(舍去)．
答：李老师所教班共有40名学生．
【跟踪训练2】 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4＝28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为
＝28.
解得x1＝8，x2＝－7(舍去)．
答：比赛组织者应邀请8队参赛．
类型3 利用一元二次方程解决数字问题
例3 (教材补充例题)一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【思路点拨】 设这个数的个位数字为x，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．
【解答】 设这个数的个位数为x，则十位数字为(x－2)．
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由题意，得10(x－2)＋x＝3(x－2)x.
解得x1＝，x2＝4.
答：两位数为24.
【方法归纳】 数字问题常用解题技巧：
(1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x－2，x＋2.
(2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b.
(3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示100a＋10b＋c.
【跟踪训练3】 一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数．
解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为(6－x)．
根据题意，得[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1 008，
即x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴6－x＝4，或6－x＝2，
∴10(6－x)＋x＝42或10(6－x)＋x＝24，
答：这个两位数是42或24.
04 巩固训练
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C)
A．11人 B．10人 C．9人 D．8人
2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6.
3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信．
4．(21.3第1
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课时习题)某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？
解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，
即x2＋x－90＝0.
解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．
答：每个枝干长出9个小分支．
05 课堂小结
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的根；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．
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