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- 2024-01-13 发布
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河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次质量检测
数 学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数的值是（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2
2．已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402，978，191，925，273，842，812，479，569，683，231，357，394，027，506，588，730，113，537，779，则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
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4．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )
A．
B．
C．
D．
5.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知双曲线,四点，中恰有三
点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
9.如图1，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段、、上，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积为( )
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A. B.
C. D.]
10. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积等于 ( )
A. B. C. D.
11．已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（－a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时△PF1F2的面积分别为S1，S2，则＝
A．4 B．8 C．2 D．4
12．已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．（1，） B．(,0) C． D．（0，＋）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知实数x，y满足条件，则的最大值为______
14．已知a为常数，且，则的二项展开式中的常数项为__________．
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15.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有__________种不同的分法（用数字作答）.
16.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_________
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的前项的和为，
(I)求数列的通项公式；
(II)设
(III)设，表示不超过的最大整数 ，求的前1000项的和
18.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测 某項质量指标，由检测结果得到如图的頻率分布直方图：
(I)写出頻率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的貭量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；
(Ⅱ)若在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；
(Ⅲ)由頻率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55， 38.45)的桶数，求的数学期望.
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：
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②若，则，.
19. 在四棱锥中，，.
(Ⅰ)若点为的中点，求证：∥平面；
(Ⅱ)当平面平面时，求二面角的余弦值.
20. 已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．
（1）求动点P所在曲线E的方程；
（2）设点Q为曲线E与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于
点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径
的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC的面积之比的取值范围．
21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：；
（2）若只有一个极值点，求的取值范围．
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
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（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于
点N，求的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）若，解不等式；
（2）求证：．
21.已知函数（其中）
（1）求的单调减区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设 只有两个零点（），求的值.
选做题（下面两题任意选一个题目，多做只按第一题给分，每题10分）
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求圆的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知， 是曲线与轴的两个交点，点为圆上的任意一点，证明： 为定值.
23.【选修4-5：不等式选讲】
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设函数，，其中.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
理数答案
1--5 BDDAA 6--10 CADBA 11--12 AD
13.3 14.240 15.240 16.
17. 解析：（1）
-----------4分
（2） ---6分
-----8分
（3）
----10分
------12分
18.(1) ；
(Ⅱ)设事件：在甲种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，
事件：在乙种食用油中随机抽取1捅，其质量指标不大于20，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一个桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，
则，， ；
（Ⅲ）计算得: ，由条件得 从而 ，
从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，
依题意得，.
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19.【解析】（(Ⅰ)取的中点为，连结，.
由已知得，为等边三角形，.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
∵平面，∴∥平面. …………………………5分
(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.
∵平面平面，，
∴平面，，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，，∴，
∵，，∴.
令，得，∴，
∴.
设二面角的大小为，则. ………………………12分
20．解：
（1）设动点P的坐标为，由题意可得 ，
整理，得：，即为所求曲线E的方程 …4分
（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为
由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0 …5分
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设直线MQ的方程为，与联立得：
所以，
同理，设直线NQ的方程为，与联立得：
所以 …7分
因此 …8分
由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称
设，，所以，
又在曲线上，所以，即 …10分
故，
由于，所以， …12分
（解法二）由已知得：，，，即圆C方程为
由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0 …5分
设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为
所以
于是，
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设直线NQ的方程为，同理可得：
所以 …8分
由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称
设，，所以，
又在曲线上，所以，即 …10分
故，
由于，所以， …12分
21.（1）的定义域为｛x｜x≠0｝，＝＜0，解得：x＜1，
所以，的单调减区间为（－∞，0）和（0,1）
(2)“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立”，其中.构造函数，则.记，则.
（i）若，则在上恒成立，在上单调递增，
因此当时，有，即，所以在上单调递增，
因此当时，有，即，故恒成立，符合题意.
（ii）若，则在上恒成立，所以在上单调递减，
因此当时，有，即，所以在上单调递减，
因此时，有，即.故不对任意恒成立，不符合题意.综上所述，的取值范围是.
(3)，所以，依题意知关于的方程只有两个实数根，即关于的方程只有两个非零实根，其中.故，或或.
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（i）若，则，不符合题意；
（ii）若，比较对应项系数，得，解得.不满足，故不符合题意；
（iii）若，同理可得，符合题意，此时.综上所述，的值为.
22．（1）圆的参数 方程为，（ 为参数），
由得： ，即，
所以曲线的直角坐标方程为
（2）由（1）知， ，可设，所以
所以为定值10.
23．解析：（I）不等式，则
解得：或，即
所以不等式的解集为．
（II）设的值域为,的值域为．
对任意的，都存在，使得等价于：
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而．[来源:学科网ZXXK]
①当时，不满足题意；
②当时，，由得，得，不满足题意；
③当时，，由得，得，满足题意； 综上所述，实数的取值范围是：．
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