2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题：“对任意,”的否定是( )‎ A. 存在 x∈R, B. 对任意x∈R, ‎ C. 存在x∈R, D. 对任意x∈R, ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词，所以命题：“对任意,”的否定是“存在,”，故选C.‎ ‎2．若抛物线上的点到其焦点的距离为5，则n=( )‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的准线方程为 根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4‎ 故选：D ‎3．在下列命题中，真命题是( )‎ A. “x=2时,x2－3x+2=0”的否命题； B. “若b=3,则b2=9”的逆命题;‎ C. 若ac>bc,则a>b; D. “相似三角形的对应角相等”的逆否命题 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：：①“x=2时，x2－3x+2=0”的否命题为“x≠2时，x2－3x+2≠0”，如x=1时，x2－3x+2=0，故①错误；‎ ‎②“若b=3，则b2=9”的逆命题为：“若b2=9，则b=3”，显然错误，故②错误；‎ ‎③若ac＞bc，则a＞b，错误，理由是：若c＜0，则a＜b，故③错误；‎ ‎④“相似三角形的对应角相等”正确，其逆否命题亦正确，故④正确．‎ 综上所述，真命题的选项是④．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用 ‎4．在平行六面体中， 为与的交点，若， ， ，则下列向量中与相等的向量是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，由向量的三角形法则可得，即 ‎ ，故选A．‎ ‎5．直线过双曲线的一个焦点且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线令 得 所以又直线与其一条渐近线平行，所以又 所以该双曲线的方程为 故选A ‎6．已知椭圆C： ，直线与椭圆交于A,B，且M（1，1）为线段AB的中点，则直线的斜率为( )‎ A. 2 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设两点在椭圆上， ，两式相减可得，化简得 ‎，又点是的中点， ，因此可得直线的斜率，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、斜率公式以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解 ‎7．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于， 两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，因为点在第一象限且，所以，联立，得，则，解得，即直线的斜率为；故选A.‎ 点睛：在处理过抛物线的焦点的直线问题时，往往设直线的方程为，可避免讨论.‎ ‎8．若斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，根据双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线斜率， 双曲线离心率的取值范围是，故选D.‎ ‎9．若点P是椭圆上的一动点， 是椭圆的两个焦点，则最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的，由椭圆定义，可得 ‎， ， ， ，当且仅当，取得最小值，故选B.‎ ‎10．已知抛物线C: ，直线，PA,PB为抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，则“点P在直线上”是“PAPB”的( )条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到： ，所以，由韦达定理可得，故在直线上；（2）若在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上”是“”的充要条件，故选C.‎ ‎11．在正方体中， 是的中点，点是矩形所在平面内的动点，且满足，则点的轨迹是( )‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因平面，则，同理平面，则，‎ ‎，则，，则，下面研究点在面的轨迹（立体 几何平面化），在平面直角坐标系内设，设 ‎，因为，所 以，化简得：，则点的轨迹是圆.‎ ‎【考点】1.线面垂直；2.直接法求轨迹；‎ ‎12．过椭圆上一点M作圆的两条切线，切点为A、B，过A、B的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，根据圆的切线知识可得过的直线的方程为 ，由此得， ，故的面积为×·＝.因为点在椭圆上，所以 ·，由此得，所以≥，当且仅当＝时等号成立，故面积最小值为，故选C. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.‎ 二、填空题 ‎13．在空间直角坐标系中， ,则=‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ，又，即，解得，故答案为.‎ ‎14．已知抛物线的焦点和点， 为抛物线上一点，则的最小值是 ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，过作抛物线的准线的垂线垂足为，根据抛物线的定义,所以的最小值即为抛物线上一个动点 到一个定点的距离与到定直线的距离之和的最小值，显然，最小值即为点到直线的距离为．‎ ‎【考点】1．抛物线的定义；2．距离的最小值．‎ ‎15．若不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，根据分手不等式的解法解得或，若不等式成立的充分不必要条件是，则，故答案为.‎ ‎16．是双曲线与椭圆的左、右公共焦点，点是在第一象限的公共点．若，则的离心率是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为是双曲线与椭圆的左、右公共焦点，所以可得， ， 的离心率是，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义、椭圆的定义与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题根据方法①求出离心率．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题： ，命题： .‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由 ‎，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.‎ 试题解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，‎ 由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；‎ ‎（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，‎ a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，‎ 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．‎ ‎18．双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.‎ ‎(1)求双曲线标准方程；‎ ‎(2)若点M在双曲线上， 分别是双曲线的左、右焦点，且，求的面积.‎ ‎【答案】(1) 双曲线的标准方程为;(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出椭圆的焦点坐标，再设双曲线方程为，用待定系数法求出，从而求出双曲线的方程；（2）点在双曲线上，又，所以点在双曲线的右支上，则有，解出， ，再根据余弦定理求出，最后利用三角形的面积公式即得的面积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆方程可化为，焦点在轴上，且，‎ 故设双曲线方程为，‎ 则有解得， ，‎ 所以双曲线标准方程为．‎ ‎（2）因为点在双曲线上，又，所以点在双曲线的右支上，‎ 则有，‎ 故解得， ，又，‎ 因此在中， ，‎ 所以．‎ ‎．‎ ‎【考点】1、余弦定理；2、双曲线的标准方程；3、三角形的面积．‎ ‎19．如图，已知四棱锥中， 平面， ， ，且， ， 是的中点. ‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求点D到平面的距离.‎ ‎【答案】(1) 异面直线与所成角为;(2)1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为平面，取的中点，则 两两垂直，以点为原点以为轴，建立空间直角坐标系，分别求出异面直线与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可；（2）先求得，又∵平面， 是平面的一个法向量，所以点 到平面的距离.‎ 试题解析：（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，‎ 则， ， ，故， ， ‎ ‎，即，‎ 故异面直线与所成角为；‎ ‎（2）在平面中，∵， ，∴，‎ ‎∵，∴，由得，‎ ‎∴，又∵，∴，又∵平面，‎ ‎∴是平面的一个法向量，所以点D到平面的距离 ‎【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，以及利用向量求点面距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20．已知抛物线C： ，直线与抛物线C交于A,B两点.‎ ‎（1）若直线过抛物线C的焦点，求.‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线对称的相异两点M和N，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)16;(2) 的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线过抛物线 的焦点可得， ，得到；故抛物线方程为，联立方程，根据焦半径公式可得的值；（2）根据直线垂直可得直线 的斜率，可设直线的方程为，代入中消去 可得到： ，由韦达定理可得的中点坐标坐标，将中点坐标代入的方程可得，利用判别式大于零可求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）依题意可知抛物线C的焦点为（），所以，得到；故抛物线方程为.‎ 联立方程，所以 ‎（2）依题意可知直线垂直平分线段MN， 于是直线MN的斜率为-1，设其方程为，‎ 代入中消去可得到： ‎ 设，从而；‎ 故线段MN的中点G（），‎ 又因为G在直线MN： 上，‎ 所以，‎ 因为方程有两个相异实根，所以，即，‎ 于是，‎ 故所求的取值范围是.‎ ‎21．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = ，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．‎ ‎（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；‎ ‎（2）当 取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．‎ ‎【答案】(1) 有最大值为;(2) 二面角的余弦值为：－.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面， ，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.‎ 试题解析：（1）∵平面平面,AE⊥EF,‎ ‎∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），‎ E（0，0，0）∵AD∥面BFC，‎ 所以VA-BFC＝ ‎ ‎，即时有最大值为． ‎ ‎（2）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），‎ D（0，2，2），F（0，3，0）,∴ （－2，2，2）,‎ 则，即， ‎ 取x＝3，则y＝2，z＝1，∴‎ ‎ 面BCF的一个法向量为 则cos<>=. ‎ 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－‎ ‎22．已知椭圆： 的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）d的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设直线，代入中得： ，由斜率公式表示出直线的斜率，结合韦达定理计算斜率之和，即可作出判断；（2）设直线，代入中得： ，根据韦达定理，表示出直线的斜率，令斜率之积为，得出的关系，根据判别式得出的范围，代入点到直线距离公式得出与的关系，利用基本不等式得出的范围.‎ 试题解析：（1）设直线，代入中得： .‎ 设，‎ 又F(1，0)， ‎ 又 ‎，即直线FA、FB的斜率之和是定值0. ‎ ‎（2）设直线，代入中得： .‎ 设，‎ 若,则 即，‎ 将代入并化简得：‎ ‎，‎ 代入判别式得恒成立，‎ ‎，‎ 故d的取值范围为.‎