2020届河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 11页

‎2019-2020学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，B={x|x≥0}，则A∩B=（　　）‎ A. {x|0＜x≤3} B. {x|0≤x≤3} C. {x|1＜x≤3} D. {x|1＜x＜3}‎ 2. 设复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则下列选项正确的是（　　）‎ A. 函数f（x）的图象关于点（，0）对称 B. 函数f（x）的图象关于点（-，0）对称 C. 函数f（x）的图象关于直线x=对称 D. 函数f（x）的图象关于直线x=-对称 5. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）‎ ‎ A. 甲类水果的平均质量μ1=0.4kg B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.99‎ 6. 函数f（x）=|x-1|+e|lnx|的大致图象为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知，x=loga（2a），y=loga+1a，（2a），则（　　）‎ A. x＜y＜z B. y＜x＜z C. x＜z＜y D. z＜y＜x 2. 在如图算法框图中，若a=6，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（　　）‎ A. k＜3 B. k＞3 C. k＜4 D. k＞4 ‎ 3. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＜S10＜S8，设bn=anan+1an+2，则数列{bn}的前n项和Tn取最大值时n的值为（　　）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ 4. 十八世纪，函数y=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程2019x2-[x]-2020=0的所有实数根的个数为（　　）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 5. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A. 23π B. C. 64π D. ‎ 1. 已知函数f（x）=1+x-，若函数f（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知向量，，若，则实数λ的值为______．‎ 3. 学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．‎ 4. 已知双曲线的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为______．‎ 5. 已知函数f（x）=（x2-ax）ex-ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 6. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=c（sinB+cosB）． （1）求∠ACB的大小； （2）若∠ABC=∠ACB，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． ‎ ‎ ‎ 7. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC． （Ⅰ）证明：PC⊥平面BED； （Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．‎ ‎ ‎ 1. 设直线l与抛物线x2=2y交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB． （1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数λ，满足k1+k2=λ（k3+k4）？并说明理由． ‎ 2. 已知函数f（x）=． （1）若函数y=f（x）-k有2个零点，求实数k的取值范围； （2）若关于x的方程f（x）=m-有两个不等实根x1，x2，证明：①x1+x2＞2；②+＞2． ‎ 1. 一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束． （1）求P1，P2，P3； （2）求证：数列{Pn+1-Pn}（n=1，2，3，…，98）为等比数列； （3）求玩该游戏获胜的概率． ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为​​​​​​​（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点． （Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程； （Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值． ‎ 3. 若关于x的不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，记实数t的最大值为T． （1）求T的值； （2）若正数a，b，c满足a+2b+c=T，求的最小值． ‎ 答案 ‎1.【答案】A ‎2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】A 13.【答案】 14.【答案】150‎ ‎15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a=c（sinB+cosB）， ∴sinA=sinC（sinB+cosB），…（1分） ∴sin（π-B-C）=sinC（sinB+cosB）， ∴sin（B+C）=sinC（sinB+cosB），…（2分） ∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinCcosB，…（3分） ∴cosCsinB=sinBsinC， 又∵B∈（0，π），故sinB≠0，…（4分） ∴cosC=sinC，即tanC=1．    …（5分） 又∵C∈（0，π）， ∴C=．  …（6分） （2）在△BCD中，DB=2，DC=1， ∴BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分） 又∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ACB=， ∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分） ∴S△ABC=×BC××BC=BC2=-cosD，…（9分） 又∵S△BDC=×BD×DC×sinD=sinD，…（10分） ∴S四边形ABDC=-cosD+sinD=+sin（D-）．    …（11分） ∴当D=时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分） ‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosCsinB=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanACB=1，结合范围∠ACB∈（0，π ‎），即可求得∠ACB的值． （2）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD，由已知及（1）可知∠ACB=，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值． 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题． 18.【答案】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz， 设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0） ∴=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，） ∴•=-=0，•=0 ∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED （II）=（0，0，2），=（，-b，0） 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 取=（b，，0） 设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则 取=（1，-，） ∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b-=0．故b= ∴=（1，-1，），=（-，-，2） ∴cos＜，＞== 设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ= ∴θ=30° ∴PD与平面PBC所成角的大小为30° ‎ ‎【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可； （II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题 19.【答案】解：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点， 故设y=kx+b（b≠0），A（x，y），B（x'，y'）， 联立直线l与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0，∴x+x'=2k，xx'=-2b，∴yy'==b2， ∵OA⊥OB．∴=0，∴b2-2b=0，解得b=2， 所以直线l的方程为：y=kx+2 故直线恒过定点（0，2）． （2）由（1）知x+x'=2k．xx'=-4∴k1+k2===2k+=k； 设C（m，n），D（a，t），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0， ∴m+a=，ma=， ∴k3+k4===2k+=-2k， ∴k1+k2=（k3+k4）， 即存在常数λ=满足条件． ‎ ‎【解析】（1）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由OA⊥OB，求出过定点， （2）由（1）得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出k1+k2，同理联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出k3+k4，从而得出存在常数满足条件． 考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题． 20.【答案】解：（1）由题知，y=f（x）与y=k有两个交点，， 由f′（x）＞0得0＜x＜e；由f′（x）＜0得x＞e， ∴f（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减， 又，且当x＞e时，f（x）＞0，故； （2）证明：①方程可化为，令， 所以g（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，又， 不妨设x1＜x2．则，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2-x1， ∵x2，2-x1∈（1，+∞）且g（x）在（1，+∞）上单减，所以证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1）， 令， 则=‎ ‎， 当时，lnx＜0，ln[1-（x-1）2]＜0， ∴h′（x）＞0，即h（x）在单增，又h（1）=0， ∴g（x）＜g（2-x）对恒成立，即g（x1）=g（x2）＜g（2-x1）成立，即x1+x2＞2成立； ②由①得，即，命题得证． ‎ ‎【解析】（1）依题意，y=f（x）与y=k有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况即可得解； （2）①问题转化为证明x2＞2-x1，即证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），构造函数即可得证；②利用①的结论容易得证． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻辑推理能力，属于中档题． 21.【答案】解：（1）棋子开始在第1站是必然事件，P1=1； 棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为， ∴P2=； 棋子跳到第3站，有两种情况， ①第一次掷硬币反面向上，其概率为； ②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为=， ∴P3==； （2）证明：棋子跳到第n+2 站（1≤n≤97），有两种情况： ①棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为Pn； ②棋子先跳到第n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为Pn+1． 故Pn+2=Pn+1+Pn； ∴Pn+2=-（Pn+1-Pn）；又P2-P1=-， 数列是以-为首项，-为公比的等比数列， （3）由（2）得Pn+1-Pn=（-）n； ∴P99=（P99-P98）+…+（P2-P1）+P1 =（-）98+（-）97+…+（-）+1 ==+‎ ‎， 所以获胜的概率为1-P99=-． ‎ ‎【解析】（1）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果． （2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列． （3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率． 本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法． 22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3， 可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线． 曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆． 因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2， 圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0， 所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ． （Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0）， S△AOB=|OA||OB|sin =ρ1ρ2=4cosθcos（θ+） =4（cos2θ-sinθcosθ） =4（-）=2+2cos（2θ+）， 所以△AOB面积的最大值为2+2． ‎ ‎【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． （Ⅰ）消参可得C2的直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系可得C1的直角坐标方程，即可得极坐标方程． （Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值． 23.【答案】解：（1）∵|x-1|-|x+4|≤|（x-1）-（x+4）|=5，∴（|x-1|-|x+4|）max=5． ∵不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，∴|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max=5， ∴-6≤x≤4，∴实数t的最大值T=4． （2）由（1）知a+2b+c=T=4，∴（a+b）+（b+c）=4， ∴= =≥， 当且仅当，时取等号， ‎ ‎∴的最小值为． ‎ ‎【解析】（1）先求出|x-1|-|x+4|的最大值，再根据|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，得到|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max，然后解关于t的不等式即可得到解集； （2）由（1）可得a+2b+c=T=4，再由=利用基本不等式求出最小值即可． 本题考查了绝对值三角不等式，不等式有解问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题． ‎