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- 2023-12-30 发布
1.如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为________ cm.
【答案】24
2. 如图，在△ABC中，F为边AB上的一点，＝(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E.则＝________.
【答案】
【解析】作FG∥BC交AE于点G，则＝＝1，＝＝.两式相乘即得＝.
3.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6 cm2，则△ABC的面积为________ cm2.
【答案】72
【解析】令E＝a，EF＝b，则ab＝6.
由题意知EB＝2a.
DF＝3b.
∴S△ABC＝·AB·DE＝×3a×4b＝12×ab＝12×6＝72.
4. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.
(1)求证：BE＝2AD；
(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．
【答案】（1）详见解析（2）.
5. 如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连结AG分别交⊙O，BD于点E，F，连结CE.
求证：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)＝.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
6. 如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE＝________.
【答案】
【解析】∵EC∥AD，
∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，
∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，
又因为∠ECB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，
∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.
∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝.
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长________．
【答案】
【解析】∵tan∠BCA＝＝，所以∠BCA＝30°，
∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.
在Rt△BCE中，CE＝BC·cos∠BCA＝3cos 30°＝.
在△ECD中，由余弦定理得
ED＝
＝＝.
8.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°得到OD，则PD的长为________．
【答案】
9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.
【答案】
【解析】连结AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝.
10.如图，已知 AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是________．
【答案】2
【解析】如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2.
11. 如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.
【答案】详见解析
12.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连结ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．
【答案】2
【解析】∵AH∥BE，∴＝.
∵AB＝4AF，∴＝，
∵HE＝8，∴HF＝2.
∵AH∥BE，∴＝.
∵D是AC的中点，∴＝1.
∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，
∴DF＝HD－HF＝4－2＝2.
13.如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【答案】（1）详见解析（2）
14.如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
【答案】详见解析
【解析】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.