2018-2019学年福建省惠安惠南中学高一12月月考数学试题 11页

2018-2019 学年福建省惠安惠南中学高一 12 月月考数学试题 考试时间：120 分钟 满分： 150 分 班级：_________ 姓名: ________________ 座号:_________ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求） 1.在 0~2π范围内，与角 4π 3  终边相同的角是（ ） A． 2π 3 B． π 3 C． π 6 D． 4π 3 2．已知角α的终边经过点（－4，3），则 cosα＝（ ） A．4 5 B．3 5 C．－3 5 D．－4 5 3．若  则,0cossin  在( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 4．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A．(－1,0) B．(－2，－1) C．(0,1) D．(1,2) 5.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20cm，则扇形的周长为（ ） A．6πcm B．60cm C．（40＋6π）cm D．1 080cm 6.已知 =-5,则 tan á的值为( ) A.-2 B.2 C. D.- 7.已知 f(x)= 2 0 x       0 0 0 x x x    ，则 f[f(-3)]等于 ( ) A、0 B、π C、π2 D、98．下列不等式中，正确的是（ ） A． 13π 13πtan tan4 3  B． π πsin cos5 5  C． 3π 2πcos cos( )5 5   D．cos55°>tan35° 9.集合 M＝{x|x＝sinnπ 3 ，n∈Z}，N＝{x|x＝cosnπ 2 ，n∈Z}，则 M∩N=（ ） A．{－1，0，1} B．{0，1} C． D．{0} 10.函数 xxay x  （a>1）的图像的大致形状是（ ） 11.函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π 8 个单位长度后，得到一个偶函数的图象， 则φ的一个可能的值为( ) A．3π 4 B．π 4 C．0 D．－π 4 12. 已知函数 f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，若 f（x）≤|f（π 6 ）|对 x∈R 恒成 立，且 f（π 2 ）>f（π），则 f（x）的单调递增区间是（ ） A．[kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ]（k∈Z） B．[kπ，kπ＋π 2 ]（k∈Z） C．[kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ]（k∈Z） D．[kπ－π 2 ，kπ]（k∈Z） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上） 13．函数  )5(,7)5(,1sin)( ffxbaxxf 则若 14. 函数 )6cos()(  xxf ，     2,2 x 的值域是 15.函数 f(x)= lnx-x+3 的零点个数 16. 关于函数 f（x）＝4sin 2x－π 3 （x∈R），有下列命题： （1）y＝f（x+ 3 4π ）为偶函数； （2）要得到函数 g（x）＝－4sin2x 的图象，只需将 f（x）的图象向右平移π 3 个单位 长度； （3）y＝f（x）的图象关于直线 x＝－π 12 对称； （4）y＝f（x）在[0，2π]内的增区间为 0， 5 12 π 和 11 12 π，2π ． 其中正确命题的序号为_______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 10 分)A,B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第 二象限,记∠AOB=θ,且 sin θ=. (1)求点 B 的坐标; (2)求 的值. 18 ． （ 12 分 ） 已 知 α 是 第 三 象 限 角 ， f （ α ） ＝ sinπ －α· cos 2π－α· tan －α－π tan －α· sin －π－α ． （1）化简 f（α）； （2）若 cos α－3 2 π ＝1 5 ，求 f（α）的值； （3）若α＝－1 860°，求 f（α）的值． 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin +1. (1)用“五点法”作出 f(x)在 x∈ 上的 简图; (2)写出 f(x)的对称中心以及单调递增区间; (3)求 f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的集 合. 20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) ≤φ< 的图象关于直线 x= 对称,且图象上相 邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若 f ,求 sin 的值. 21. （12 分）函数 f1（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π 2 ）的一段图象过点（0， 1），如图所示． （1）求函数 f1（x）的表达式； （2）将函数 y＝f1（x）的图象向右平移π 4 个 单位，得函数 y＝f2（x）的图象，求 y＝f2（x）的最大值，并求出此时自变量 x 的集合，并 写出该函数的增区间． 22.（14 分）已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 2 2 x x bf x     是奇函数． （Ⅰ）求 b 的值； （Ⅱ）证明函数  f x 在 R 上是减函数； （Ⅲ）若对任意的t R ，不等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k    恒成立，求 k 的取值范围． 2018-2019 学年惠南中学高一年 12 月月考答案 数学 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A C D B C D B B C 12．由任意 x∈R，有 f（x）≤|f（π6）|知，当 x＝π6时，f（x）取最值，所以 f（π6）＝ sin（π3＋φ）＝±1，所以π3＋φ＝±π2＋2kπ（k∈Z），所以φ＝π6＋2kπ或φ＝－5π6 ＋2kπ （k∈Z）.又 f（π2）>f（π），所以 sin（π＋φ）>sin（2π＋φ），所以－sinφ>sinφ， 所以 sinφ<0，所以φ取－5π6 ＋2kπ（k∈Z）. 不妨取φ＝－5π6 ，则 f（x）＝sin（2x－5π6 ），令－π2＋2kπ≤2x－5π6 ≤π2＋2kπ（k∈Z）， 所以π3＋2kπ≤2x≤4π3 ＋2kπ（k∈Z），所以π6＋kπ≤x≤2π3 ＋kπ（k∈Z）． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、 -5 14、 15 、 1 16、 (2) (3) 三．解答题（共 70 分） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（12 分）已知α是第三象限角，f（α）＝错误!． （1）化简 f（α）； （2）若 cos 3 π＝ 1 5，求 f（α）的值； （3）若α＝－1 860°，求 f（α）的值． 解 (1)f(α)＝ π＋α] ] ＝ －sin α·cos α·tan α －tan α·sin α ＝cos α. (2)∵cos 3 π＝cos 3 π－α＝－sin α， 又 cos 3 π＝ 1 5，∴sin α＝－ 1 5. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－ 6 5， ∴f(α)＝－ 6 5. (3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°) ＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝ 1 2. 18.(本小题满分 10 分)A,B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第 二象限,记∠AOB=θ,且 sin θ=. (1)求点 B 的坐标; (2)求 的值. 解(1)设点 B 坐标为(x,y),则 y=sinθ=. 因为点 B 在第二象限,x=cosθ=- , 所以点 B 坐标为 . (2) = =- . 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin +1. (1)用“五点法”作出 f(x)在 x∈ 上的简图; (2)写出 f(x)的对称中心以及单调递增区间; (3)求 f(x)的最大值以及取得最大值时 x 的集合. 解(1)对于函数 f(x)=sin +1,在 x∈ 上,2x+∈[0,2π],列表: 2x+ 0 π 2 x - f(x) 1 2 1 0 1 作图: (2)令 2x+ =kπ+ ,求得 x= , 可得函数的图象的对称中心为 ,k∈Z. 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,求得 kπ- ≤x≤kπ+ , 可得函数的增区间为 ,k∈Z. (3)令 2x+ =2kπ+ ,求得 x=kπ+ ,所以函数 f(x)的最大值为 2,此时,x=k π+ ,k∈Z. 20.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) ≤φ< 的图象关于直线 x=对称,且图象上相邻 两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若 f ,求 sin 的值. 解(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而ω = =2. 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 所以 2× +φ=kπ+ ,k=0,±1,±2. 因为- ≤φ< ,所以φ=- . (2)由(1)得 f sin , 所以 sin . 由 <α< ,得 0<α- , 所以 cos = . 因此 sin =sin =-sin =-cos =- . 21. （12 分）函数 f1（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的一段图象过点 （0，1），如图 3 所示． 图 3 （1）求函数 f1（x）的表达式； （2）将函数 y＝f1（x）的图象向右平移π4个单位，得函数 y＝f2（x）的图象，求 y＝f2 （x）的最大值，并求出此时自变量 x 的集合，并写出该函数的增区间． 解：（1）由题图知，T＝π，于是ω＝2πT ＝2. 将 y＝Asin2x 的图象向左平移 π 12，得 y＝Asin（2x＋φ）的图象， 于是φ＝2× π 12＝ π 6 ， 将（0，1）代入 y＝Asin π 6 ，得 A＝2，故 f1（x）＝2sin π 6 ； （2）依题意，f2（x）＝2sin π 6 ＝－2cos π 6 ， 所以 y＝f2（x）的最大值为 2， 当 2x＋ π 6 ＝2kπ＋π（k∈Z），即 x＝kπ＋ 5π 12 （k∈Z）时，ymax＝2， x 的取值集合为 5π ，k∈Z， 因为 y＝cosx 的减区间为 x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， 所以 f2（x）＝－2cos（2x＋ π 6 ）的增区间为{x|2kπ≤2x＋ π 6 ≤2kπ＋π，k∈Z}， 解得{x|kπ－ π 12≤x≤kπ＋ 5π 12 ，k∈Z}， 所以 f2（x）＝－2cos（2x＋π6）的增区间为 x∈[kπ－ π12，kπ＋5π12]，k∈Z． 22.（14 分）已知定义域为 的函数 是奇函数． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）证明函数 在 上是减函数； （Ⅲ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 21．解：（Ⅰ）∵ 是奇函数，所以 (经检验符合题设) ． （Ⅱ）由（1）知 ．对 ，当 时，总有 ． ∴ ， 即 ． ∴函数 在 上是减函数． （Ⅲ）∵函数 是奇函数且在 上是减函数， ∴ ． ．（*） 对于 （*）成立 ． ∴ 的取值范围是 ．