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- 2023-12-28 发布
南阳一中2018届高三第十四次考试
理数试题
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
4.根据如下程序框图，运行相应程序，则输出的值为（ ）
A．3 B．4 C.5 D．6
5.被圆所截弦长为4，则的最小值是（ ）
A．3 B． C.2 D．
6.如图是某四棱锥的三视图，则几何体的表面积等于（ ）
A． B．
C. D．
7.已知，则（ ）
A．2 B． C.-2 D．-
8.如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9.已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
10.函数，则使得成立的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且
，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C.8 D．6
12.偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若非零向量，满足，则在方向上的投影为 ．
14.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 ．
15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示：
体积（升/件）
重量（公斤/件）
利润（元/件）
甲
20
10
8
乙
10
20
10
在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为 元．
16.在中，角、、所对的边分别分，若，且，则的面积的最大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差（）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）·
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（注：，）
19. 在四棱锥中，平面，，，且，，.
（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.
20. 已知，是抛物线上不同两点.
（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.
（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ），（其中为的导函数），判断在上的单调性；
（Ⅱ）若无零点，试确定正数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标，.
23.已知函数.
（1）若，使不等式成立，求满足条件的实数的集合；
（2）为中最大正整数，，，，，求证：.
试卷答案
一、选择题
1-5: BCCBC 6-10: ADBDB 11、12：CC
二、填空题
13.-1 14.-189 15.62 16.
三、解答题
17.（1）当时，，所以；
当时，，则，
即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，所以，①，②
①-②，得，
所以.
18.（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从第5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以
，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是.
（2）由数据，求得，
，，
，由公式得，，
所以关于的线性回归方程为.
（3）当时，，
当时，，
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.
19.（1）如图，由已知得四边形是直角梯形，由已知，，可得是等腰直角三角形，即，又，则，所以，所以.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
设，则的坐标为.
设是平面的一个法向量，则，得，则可取，又是平面的一个法向量，
所以，此时平面的一个法向量可取，，与平面所成的角为，则
.
20.解：（1）设，，，由，消去整理得，则，∵直线平分，∴
∴，即：，
∴，满足，∴抛物线标准方程为.
（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为：，
由，得，∴，
∴，
∵，∴，∵，∴.
∴直线的方程为：.
假设存在直线，使得，即，
作轴，轴，垂足为，
∴，
∵，，
∴，由，得，
故存在直线，使得，直线方程为.
21.（Ⅰ）因为，则，，
所以，所以在上单调递增.
（Ⅱ）因为无零点，所以，或者，恒成立.
∵，∴，即，由（Ⅰ）知在上单调递增，所以，又因为，所以在，有唯一零点，设此零点为，易当时，，单调递增；时，，单调递减，当时，有唯一的最大值，有，其中，所以恒成立.
令，则，由（Ⅰ）知，在上恒成立，所以，在
上单调递增，因为，所以当时，；当时，.则时，.由在上递减，得，则.
22. 解：（1）∵，∴，即，
又，∴，∴或，
∴曲线的普通方程为（或）.
∵，∴，∴曲线的直角坐标方程为.
（2）由，得，∴（舍去），，
则交点的直角坐标为，极坐标为.
23.（1）由已知得，则，
由于，使不等式成立，所以，即
（2）由（1）知，则
因为，，，所以，，，
则，（当且仅当时等号成立），
，（当且仅当时等号成立），
，（当且仅当时等号成立），
则（当且仅当时等号成立），
即.