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- 2023-12-25 发布
2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期月考（1月）数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1.已知命题：.是： ．
2.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,300,400,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.
4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ．
5.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 ．
6.曲线 在点 处的切线方程为 ．
7.函数 的单调减区间为 ．
8.函数f (x)＝x－sinx在区间[0，π]上的最小值是 ．
9. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝ .
10. 过曲线上一点处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，是坐标原点，若的面积为，则 .
11. 当 时，函数 有极值 ，则 的值为 ．
12. 若函数 有两个极值点 ，，其中 ，，且 ，则方程 的实根个数为 ．
13.已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，，为坐标原点.则椭圆离心率
的取值范围 .
14. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
① ② ③ ④
二、解答题（本大题共6小题，计90分.其中:15,16,17各14分; 18,19,20各16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 分）作为样本（样本容量为 ）进行统计．按照 ，，，， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ， 的数据）．
（1）求样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 分以上（含 分）的学生中随机抽取 名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率．
16．设p：实数x满足x 2﹣4ax+3a 2＜0； q：实数x满足 ＜0．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？
18．已知函数，其中．
（1）若，，，求的极值；
（2）对于给定的实数、、，函数图象上两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．
19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
高二数学
1.已知命题：.是： ．
2.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,300,400,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
件.24
4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ．
5.抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为
6.曲线 在点 处的切线方程为 ．
7.函数 的单调减区间为 ．
8.函数f (x)＝x－sinx在区间[0，π]上的最小值是 ．
9. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，
则＝ 18
10. 过曲线上一点处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，是坐标原点，若的面积为，则
11. 当 时，函数 有极值 ，则 的值为 ．
12. 若函数 有两个极值点 ，，其中 ，，且 ，则方程 的实根个数为 ．5
13.已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，，为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围 .
设
，
即
联立方程得：，消去得：
解得：或
解得：
综上，椭圆离心率的取值范围为．
14. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则，在上单调递增，故具有性质．
15．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 分）作为样本（样本容量为 ）进行统计．按照 ，，，， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ， 的数据）．
（1）求样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 分以上（含 分）的学生中随机抽取 名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率．
15. （1） 由题意可知，样本容量 ，，．
（2） 由题意可知，分数在 内的学生有 人，设为 ，分数在 内的学生有 人，设为 ，抽取的 名学生的所有基本事件为： ，共 个，其中 名同学的分数至少有一名得分在 内的基本事件为： ，共 个，
所以所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率为 ．
16．设p：实数x满足x 2﹣4ax+3a 2＜0； q：实数x满足 ＜0．
（1）、若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）、若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
(1).;(2)
17．如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？
17. 解法1：分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系，则圆弧DC的方程为：，设，圆柱半径为，体积为，则，，，
∴=，
， 6分
设，，
，令，得 10分
当时，，是减函数；当时，，是增函数，
∴当时，有极大值，也是最大值，
∴当米时，有最大值米3，此时米，
答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为。 14分
解法2：设，则，，
由，得，
∴，
设，， ，
令，得，
当时，，是减函数；当时，，是增函数，
∴当时，有极大值，也是最大值。以下略。
18．已知函数，其中．
（1）若，，，求的极值；
（2）对于给定的实数、、，函数图象上两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．
18.（Ⅰ）当，，，时，，解得，
极大值，极小值 6分
（Ⅱ）因为，
所以，所以，的斜率分别为，．
又直线与平行，所以，即，
因为，所以， 从而，
所以
．
又由上 ，所以点，（）关于点对称．故当直线与平行时，点与点关于点对称．
注：对称点也可写成．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线， 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
19．（Ⅰ）解：由题意，得，， ……2分
又因为点在椭圆上，
所以， ………3分
解得，，，
所以椭圆C的方程为. ………5分
（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. ………6分
证明如下：
假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.
当直线的斜率存在时，设的方程为. ……7分
由方程组 得， ……8分
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，
所以，即. ………9分
由方程组 得， …10分
则.
设，，则，， ………11分
设直线， 的斜率分别为，，
所以
， …………13分
将代入上式，得.
要使得为定值，则，即，验证符合题意.
所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值.
…………15分
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时，圆与的交点也满足.
综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.
20.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
综上，的取值范围为.