专题10-4 推理与证明（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 7页

‎ ‎ 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．‎ ‎1.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是 ．‎ ‎【答案】1和3‎ ‎【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.‎ ‎2.观察下列等式，，，根据上述规律， ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.观察下列等式根据上述规律，第n个等式为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】观察式子等式右边正好为等式左边各项的和的平方，所以答案为 即 。‎ ‎4.已知双曲正弦函数和双曲作弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________.‎ ‎【答案】‎ ‎5.有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，…，现观察猜想每组内各数之和为与其组的编号数的关系为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，第一组各数的和；第二组各数的和；第三组各数的和；第四组各数的和，由归纳推理，得每组内各数之和为与其组的编号数的关系为．‎ ‎6.观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据已知，猜想式子的分母是2014，分子是，故应填入．‎ ‎7.对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：‎ ‎．仿此，若的“分裂数”中有一个是2015，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已给定的前边向个自然数的三次幂的分裂中，不难找出规律，即增加，累加的奇数个数便多，我们不难计算是第个奇数，若它是的分解，则至的分解中，累加的奇数一定不能超过个.‎ ‎，‎ 即，解得.‎ ‎8.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点Al（0，1），第二棵树在点．B1（l，l），第三棵树在点C1（1,0），第四棵树在点C2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么 ‎（1）第n棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．‎ ‎（2）第2014棵树所在点的坐标是 .‎ ‎【答案】1936 , (10,44)‎ ‎9.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点. 该青蛙从“‎5”‎这点起跳，经2 014次跳后它停在的点对应的数字是 .‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 由题意得：该青蛙从“5”这点起跳，停在的点对应的数字依次为1,2,4,1,2,4，因此经2 014次跳后它停在的点对应的数字是2. ‎ ‎10.在平面几何里，有：“若的三边长分别为内切圆半径为，则三角形面积为”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，则四面体的体积为 ”‎ ‎【答案】‎ ‎ 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．‎ ‎11. （1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；‎ ‎ （2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．‎ 解析：（1），，‎ 为等差数列为常数，所以仍为等差数列；‎ ‎（2）类比命题：若为等比数列，（），，则为等比数列. 证明：，为常数，为等比数列 ‎ ‎12.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3 图4‎ ‎（Ⅰ）求出,,,;‎ ‎（Ⅱ）找出与的关系，并求出的表达式．‎ ‎13.设数列的前n项的和与的关系是.‎ ‎(Ⅰ) 求并归纳出数列的通项（不需证明）；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）：，‎ ‎ 所以.‎ ‎(2)由（1）得所以，由错位相消法得.‎ ‎14.（1）用综合法证明：()‎ ‎（2）用反证法证明：若均为实数，且，，求证：中至少有一个大于0‎ ‎ ‎