河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（三）数学（理科） 15页

河北省衡水中学2020届高三年级模拟试题（三）‎ 数学（理科）‎ 本试卷总分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则（ ）‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知直线：和圆：，则“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点，得到广大用户的青睐，该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代码 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 年销量/万件 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎35‎ 根据表中的数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程为，则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）‎ A.40万件 B.41.5万件 C.45万件 D.48万件 ‎5.有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.‎ 初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（ ）‎ A.35 B.75 C.155 D.315‎ ‎6.已知函数与的图象关于轴对称，则的部分图象大致为（ ）‎ A.B.C.D.‎ ‎7.已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为时该圆柱的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.的展开式中的常数项为（ ）‎ A.40 B.80 C.120 D.140‎ ‎9.在2020年初抗击新冠肺炎疫情期间，某医院派出了3名医生和包括甲，乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组，则甲，乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎①的图象关于直线对称；‎ ‎②是周期函数，且2是其一个周期；‎ ‎③；‎ ‎④关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12.‎ A.①④ B.①②④ C.③④ D.①②③‎ ‎11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.若是边上一点，且，，则的面积为（ ）‎ A. B. C.8 D.12‎ ‎12.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为正数的直线分别交双曲线的左、右两支于点，，记四边形的周长为、面积为.若，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B.1 C.2 D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在中，，，则______.‎ ‎14.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若恰好为的中点，则_____；直线的斜率为______.（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎15.已知函数的图象关于点对称，且，则______.‎ ‎16.已知正方体的棱长为1，，，分别是棱，，的中点，过，，三点作该正方体的截面，点为底面内一动点.若与该截面平行，则直线与所成角的余弦值的最大值为______.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）‎ 已知数列满足，且当时，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，四棱柱的各条棱长均相等，，，且平面 底面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎19.（12分）‎ 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8.‎ ‎（1）求的标准方程.‎ ‎（2）过上的动点作的切线，过原点作于点.问：是否存在直线，使得的面积为1？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.（12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎21.（12分）‎ 某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：，，，，，统计结果如下表所示：‎ 所获纯利润（单位：万元）‎ 农户户数 ‎10‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）‎ ‎（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.‎ 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别求曲线与的极坐标方程；‎ ‎（2）过原点的直线分别与曲线，相交于异于原点的，两点，求线段长度的最大值.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 设函数.‎ ‎（1）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，求证：.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1.B【解析】由，得，，故选B.‎ ‎2.A【解析】由题意知，则.故选A.‎ ‎3.A【解析】当时，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切；反之，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得，故选A.‎ ‎4.B【解析】，.又因为直线过点，故，解得.故预测2020年该型号无人机的销量大约为（万件），故选B.‎ ‎5.C【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选C.‎ ‎6.C【解析】由题意知函数，所以为偶函数，排除B；又因为，排除A；当时，，排除D.故选C.‎ ‎7.B ‎【解析】圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为，.由题意可知，则有，所以，‎ 则圆柱的高，其侧面积，解得.当时，，所以该圆柱的体积.故选B.‎ ‎8.B【解析】的展开式的通项为（‎ ‎），则的展开式中的常数项为.故选B.‎ ‎9.B【解析】所求概率为.故选B.‎ ‎10.A【解析】由题意可知的图象关于直线对称，①正确；因为是奇函数，所以，所以，所以是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是的周期，故②错误；由的周期性和对称性可得.又当时，，所以在时单调递增，所以，即，③错误；又时，，则可画出在区间上对应的函数图象大致如下.‎ 易得（）即（）在区间上的根分别关于1，5对称，故零点之和为，④正确.故选A.‎ ‎11.B【解析】‎ 如图，过点作交于点，则.由，得，.在中，由余弦定理，得，整理得，结合，解得，所以的面积.故选B.‎ ‎12.A【解析】由，知，故点，在以为直径的圆上，‎ 如图所示，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以.因为圆以为直径，所以圆的半径为.因为点在圆上，也在双曲线上，所以有整理得，即，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，因为，联立，可得，.又，即，所以，即，所以离心率，故选A.‎ 二、填空题 ‎13.6【解析】，则.‎ ‎14.4 2【解析】过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则；根据梯形中位线定理，得.根据抛物线的定义，得.设，，由，，得，则直线的斜率为.‎ ‎15.【解析】函数的图象关于点对称，且周期为，而距离的长度为（‎ 是周期的），所以直线必是图象的一条对称轴，又，且，所以.‎ ‎16.【解析】由题意，补全截面为正六边形，如下图所示：‎ ‎，故即为直线与所成的角，由，可得平面.由，可得平面，再由.可得平面平面.由平面，可得平面.易知点位于底面对角线上，且当与底面中心重合时，最小，其余弦值此时最大，且最大值为.‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：当时，，‎ 将上式两边都除以，得，‎ 即，‎ 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.（6分）‎ ‎（2）解：由（1）得即，‎ 即，‎ 所以.‎ 所以 ‎.（12分）‎ ‎18.（1）证明：因为，所以四边形为平行四边形，‎ 所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.（3分）‎ ‎（2）解：设.‎ 因为平面底面，作于点，‎ 所以平面，‎ 易知，且各棱长都相等，‎ 所以，，.（5分）‎ 故以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 取，得.（9分）‎ 平面的一个法向量为.‎ 设平面与平面所成的二面角为.‎ 则，‎ 所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.（12分）‎ ‎19.解：（1）设与轴的交点为，‎ 由题意可知，‎ 则，‎ 当过右焦点时，的周长取最大值，‎ 所以，且，‎ 所以椭圆的方程为.（4分）‎ ‎（2）不存在直线，使得的面积为1.理由如下.（5分）‎ 显然直线斜率存在且不为0，设直线：，联立方程组 得，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 联立得，‎ 所以.（9分）‎ 又，‎ 所以，‎ 当且仅当时成立.（11分）‎ 因此不存在直线，使得的面积为1.（12分）‎ ‎20.（1）解：由题意知（），‎ 记，‎ 则，（1分）‎ 当，即时，，所以恒成立，‎ 所以在区间上单调递增.（3分）‎ 当，即时，有两个不相等的实根，.‎ 令，得或，此时单调递增；‎ 令，得，此时单调递减.（5分）‎ 综上所述，当时，单调递增；‎ 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（6分）‎ ‎（2）证明：记（），‎ 则（）.‎ 显然，故在区间上单调递增，‎ 所以当时，，即.①‎ 由（1）知，当时，在区间上单调递增，‎ 所以.②‎ 由①②得，‎ 即.（12分）‎ ‎21.解：（1）由题意知 中间值 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.45‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 所以样本平均数为，‎ 所以.所以，‎ 而，‎ 故1万户农户中，落在区间内的户数约为.（5分）‎ ‎（2）设中奖次数为，则的可能取值为0，1，2，3，…，8.‎ 则 所以.（8分）.‎ 令，①‎ 由，②‎ 由①②得，‎ 所以，‎ 所以（元）.‎ 所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为1020元.（12分）‎ ‎22.解：（1）将，代入曲线的普通方程得 即曲线的极坐标方程为.（2分）‎ 由消去参数，得，‎ 即，‎ 整理得，‎ 即曲线的极坐标方程为.（5分）‎ ‎（2）设直线：（），则，且.‎ 设的极坐标为.‎ ‎①当时，的极坐标为，‎ 此时 ‎，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎②当时，的极坐标为，‎ 此时 ‎.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以当，即时取得最大值2.‎ 综上，的最大值为2.（10分）‎ ‎23.（1）解：，‎ 若关于的不等式恒成立，‎ 则，（3分）‎ 即或，‎ 解得或，‎ 所以实数的取值范围为.（5分）‎ ‎（2）证明：要证，‎ 即证，‎ 即证.‎ 又因为，，所以，，‎ 所以 所以.‎ 故所证不等式成立.（10分）‎