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- 2023-12-20 发布
2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（ ）
A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∃x0∉R，x02+2x0+2＞0
C．∀x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R，x2+2x+2＞0
2．（5分）“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知直线a，b，平面α，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a∥α，b⊂α，则a∥b
4．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0
6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（ ）
A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16
8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：
p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；
q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；
那么，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣5，4﹣3] B．[﹣4﹣3，4﹣3] C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
11．（5分）直线l：y=与圆C：x2+y2﹣2y﹣3=0相交于M，N两点，点P是圆C上异于M，N的一个点，则△PMN的面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程 ．
14．（5分）若函数f（x）=在x=3处取得极值，则a= ．
15．（5分）《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē
nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为 ．
16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上点A（3，y0）作l的垂线，垂足为B．设C（），AF与BC相交于点E．若|FE|=2|AE|，则p的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3（其中a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=﹣1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．
18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=16上的动点，B的坐标为（﹣4，0），P在线段AB的中点．
（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．
（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；
（Ⅱ）求证：平面BDD1⊥平面BED1．
20．（12分）已知动圆M过定点O且与定直线l：x=﹣1相切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k的直线l′交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，设OA的中点为Q（其中O为坐标原点）．求证：直线PQ的斜率为0．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若AB=2，求点D到平面PBC的距离．
22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．
（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；
（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．
2017-2018学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（ ）
A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∃x0∉R，x02+2x0+2＞0
C．∀x∈R，x2+2x+2≥0 D．∀x∈R，x2+2x+2＞0
【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得
若命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为
∀x∈R，x2+2x+2＞0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．
2．（5分）“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△≥0，解得a范围．即可判断出关系．
【解答】解：关于x的方程x2+a=2x有实数根，则△=4﹣4a≥0，解得a≤1．
∴“a=1”是“关于x的方程x2+a=2x有实数根”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】
本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知直线a，b，平面α，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a∥α，b⊂α，则a∥b
【分析】A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；
B，根据线面垂直的性质判定；
C．若a∥α，b∥α，则a与b位置关系不定；
D，a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面．
【解答】解：对于A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；
对于B，若a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确；
对于C．若a∥α，b∥α，则a与b位置关系不定，故错；
对于D，a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故错．
故选：B．
【点评】题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．是基础题．
4．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：直线3x+4y﹣12=0，即直线6x+8y﹣24=0，
根据直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0平行，可得a=6，
故两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离为=，
故选：C．
【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题．
5．（5分）直线2x﹣3y+2=0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．2x+3y+2=0 B．2x+3y﹣2=0 C．2x﹣3y﹣2=0 D．2x﹣3y+2=0
【分析】由点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），即可得到所求对称的直线方程．
【解答】解：点（x，y）关于x轴对称的特点为（x，﹣y），
将直线2x﹣3y+2=0中的x不变，y换为﹣y，
可得2x+3y+2=0．
故选A．
【点评】本题考查直线关于直线的对称问题解法，注意特殊直线的代换方法，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线方程可以是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】根据题意，依次分析选项，求出选项中双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；
对于B，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=，b=2，渐近线方程为y=±x，不符合题意；
对于C，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，不符合题意；
对于D，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，符合题意；
故选：D
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．
7．（5分）若圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0相切，则m等于（ ）
A．16 B．7 C．﹣4或16 D．7或16
【分析】根据两圆内切时两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，
两圆外切时两圆的圆心距等于半径之和，列方程求出m的值．
【解答】解：圆C1：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1；
圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m=0化为（x﹣4）2+（y+4）2=32﹣m，
表示以（4，﹣4）为圆心，半径等于的圆；
由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，
可得5=|﹣1|，
解得m=﹣4．
两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，
解得m=16，
综上，m的值为﹣4或16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了两圆的位置关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
8．（5分）已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：
p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；
q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；
那么，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：由25﹣k=k﹣9时，2k=34，得k=17时，方程不表示椭圆，即命题p是假命题，
若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，
即，得k＜9，即命题q是真命题，
则（￢p）∧q为真命题，其余为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题真假判断的应用，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键．
9．（5分）若直线x﹣y+m=0与曲线y=有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．[﹣5，4﹣3] B．[﹣4﹣3，4﹣3] C．[﹣4﹣3，﹣5] D．[﹣5，﹣]
【分析】显然曲线y=有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于半径列出关于m的方程，求出m的值；当直线过（5，0）时，把（5，0）代入直线方程求出m的值，根据两次求出的m的值写出满足题意m的范围即可
【解答】解：显然曲线y=有表示一个圆心为（3，0），半径r=2的半圆，
根据题意画出图形，如图所示：
当直线与圆相切时，圆心到直线y=x+m的距离d=r，
，解得：m=4﹣3或m=﹣4﹣3（舍去），
当直线过（5，0）时，代入得：5+m=0，解得：m=﹣5，
则满足题意的m的范围是[﹣5，4﹣3]，
故选：A
【点评】此题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想．准确判断出曲线方程为半圆且根据题意画出图形是解本题的关键．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一个三棱锥，且底面是腰为5的等腰三角形，三棱锥的高为3；
所以该几何体的体积为V=，
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
11．（5分）直线l：y=与圆C：x2+y2﹣2y﹣3=0相交于M，N两点，点P是圆C上异于M，N的一个点，则△PMN的面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】如图圆心C（0，1）到直线l的距离d=，点P到MN的最大距离为d+1=3，MN=2．可得△PMN的面积的最大值为S=．
【解答】解：如图圆心C（0，1）到直线l：y=的距离d=，
∴点P到MN的最大距离为d+1=3，
MN=2．
∴△PMN的面积的最大值为S=．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题，
12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为ab，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为ab，求出A的坐标，代入圆的方程，结合离心率公式，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=a2，
双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
设A（x，x），（x＞0），由对称性可得四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD的面积为ab，
∴2x•=ab，
∴x=a，
将A（a，b）代入x2+y2=a2，可得a2+b2=a2，∴b2=3a2，
∴双曲线的离心率e====2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，主要是离心率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）过点（1，1）且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程 4x﹣3y﹣1=0 ．
【分析】设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，把点（1，1）代入可得m，即可得出．
【解答】解：设与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0，
把点（1，1）代入可得：4﹣3+m=0，解得m=﹣1．
∴要求的直线方程为：4x﹣3y﹣1=0．
故答案为：4x﹣3y﹣1=0．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）若函数f（x）=在x=3处取得极值，则a= ﹣3 ．
【分析】求出f′（x），由函数f（x）=在x=3处取得极值，能求出a．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f′（x）=，
∵函数f（x）=在x=3处取得极值，
∴f′（3）==0，
解得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的极值的性质的应用，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．
15．（5分）《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为 4π ．
【分析】三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：R==，由此能求出三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD是一个“鳖臑”，
AB⊥平面BCD，AC⊥CD，且AB=，BC=CD=1，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的半径：
R====1，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为：
S=4πR2=4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新宝定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上点A（3，y0）作l的垂线，垂足为B．设C（），AF与BC相交于点E．若|FE|=2|AE|，则p的值为 3 ．
【分析】由题意画出图形，由图形可得△AEB∽△FEC，结合|FE|=2|AE|，得到|CF|=2|AB|，再由A的坐标得到|AB|，由此列式求得p的值．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F（，0），
C（），AF与BC相交于点E．
由图可知，△AEB∽△FEC，
∵|FE|=2|AE|，∴|CF|=2|AB|，
∵A（3，y0），∴|AB|=3+，
又|CF|=，
∴3p=2（3+），解得p=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3（其中a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=﹣1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+3，f（﹣1）=﹣1，
从而切点坐标（﹣1，1），
又f′（x）=3x2﹣6x，所以f′（﹣1）=9，
故所求切线方程为y+1=9（x+1）即y=9x+8．
（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a），
当a=0时，（Ⅱ）f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增；
当a≠0时，由f′（x）=0得x=0或x=2a，
当a＜0时，由f′（x）＜0得2a＜x＜0，由f′（x）＞0得x＜2a或x＞0，
所以f（x）在（﹣∞，2a）和（0，+∞）上单调递增，在（2a，0）上单调递减；
当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，由f′（x）＞0得x＜0或x＞2a，
所以f（x）在（﹣∞，0）和（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
18．（12分）已知A为圆F：（x﹣4）2+y2=16上的动点，B的坐标为（﹣4，0），P在线段AB的中点．
（Ⅰ）求P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点（﹣1，3）的直线l与C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），根据中点坐标公式即可求出，
（Ⅱ）若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+3=0，根据点到直线的距离公式即可求出
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），
依题意得x=，y=，
解得x0=2x+4，y0=2y，
又（x0﹣4）2+y02=16，
所以4x2+4y2=16，
即x2+y2=4，
所以点P的轨迹C的方程为x2+y2=4．
（Ⅱ）因为直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|=2，
所以原点O到直线l的距离d==1．
若l斜率不存在，直线l的方程为x=﹣1，此时符合题意；
若l斜率存在，设直线l的方程为y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+3=0，
则原点O到直线l的距离d==1，解得k=﹣，
此时直线l的方程为4x+3y﹣5=0，
所以直线l的方程为4x+3y﹣5=0或x=﹣1．
【点评】本题考查了点的轨迹方程以及直线和圆的位置关系，属于中档题．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，E为CC1中点．
（Ⅰ）求证：A1C1∥平面BED1；
（Ⅱ）求证：平面BDD1⊥平面BED1．
【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，取BD1中点F，连结EF，FO．可得四边形OCEF为平行四边形，C1A1∥EF，即可得C1A1∥平面BED1．
（Ⅱ）由ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又D1D⊥平面ABCD，可得AC⊥D1D，可得EF⊥平面BDD1，即可证明平面BDD1⊥平面BED1．
【解答】解：（Ⅰ）连结AC交BD于O，取BD1中点F，连结EF，FO．
因为AA1∥CC1，AA1=CC1，所以ACC1A1是平行四边形，故AC∥⊄C1A1．
又OF是ABDD1的中位线，故OF∥DD1，OF=DD1，所以OF∥EC，OF=EC，
所以四边形OCEF为平行四边形．
所以OC∥EF，所以C1A1∥EF，
又C1A1⊄平面BED1，EF⊂平面BED1，
所以C1A1∥平面BED1．
（Ⅱ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥D1D，
又DD1∩DB=D，所以AC⊥平面BDD1，
又EF∥AC，所以EF⊥平面BDD1，
又EF⊂平面BED1，所以平面BDD1⊥平面BED1．
【点评】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
20．（12分）已知动圆M过定点O且与定直线l：x=﹣1相切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k的直线l′交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，设OA的中点为Q（其中O为坐标原点）．求证：直线PQ的斜率为0．
【分析】（Ⅰ）根据题意，点M的轨迹是以F为焦点的抛物线，即可求出抛物线的方程，
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，联立得k2x2+（2mk﹣4）x+m2=0（*），根据△=0，得到k与m的关系，再求出A（，），以及Q（，），根据斜率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点M的轨迹是以F为焦点的抛物线，
故曲线C的方程为y2=4x．
证明（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，联立得k2x2+（2mk﹣4）x+m2=0（*）
由△=（2mk﹣4）2﹣4m2k2=16（1﹣mk）=0，解得m=，
则直线l：y=kx+，得P（0，），
此时，（*）化为k2x2﹣2x+=0，解得x=，
所以y=kx+=，即A（，），
又Q为OA的中点，故Q（，），
所以kPQ=0，即直线PQ的斜率为0．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若AB=2，求点D到平面PBC的距离．
【分析】（Ⅰ）由△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD，AC⊥BD，即可得PO⊥AC，即PO⊥OB，又PO⊥BD．即可证得BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P﹣BCD的高．易得PO=BO=CO=，OD=，故BD=，设点D到平面PBC的距离为d，由VD﹣PBC=VP﹣BCD得=，得d=，即可．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB=CB，AD=CD，BD为公共边，
所以△ABD≌△CBD，
所以∠ABD=∠CBD，又AB=CB，
所以AC⊥BD，且O为AC中点．
又PA=PC，所以PO⊥AC，
又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，
可得Rt△POA≌Rt△POB，
所以∠POB=∠POA=90°，
即PO⊥OB，又OA∩OB=O，
故PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．
又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P﹣BCD的高．
又，△PAB、△ACD、△PBC均为等边三角形，AB⊥BC，
易得PO=BO=CO=，OD=，故BD=，
S△BCD==1+，
设点D到平面PBC的距离为d，
由VD﹣PBC=VP﹣BCD得=，
即，解得d=，
所以点D到平面PBC的距离为．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，点面距离的计算，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆F的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且经过点P（）．
（Ⅰ）求椭圆F的标准方程；
（Ⅱ）△ABC的顶点都在椭圆F上，其中A，B关于原点对称，试问△ABC能否为正三角形？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程并得到c，再由定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB方程为y=kx，则OC的方程为y=﹣，分别联立直线方程与椭圆方程，求出A，C的坐标，得到|OC|与|OA|，代入|OC|=|OA|，得到k2=﹣3，k无实数解，说明△ABC不可能为正三角形．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆F的标准方程为（a＞b＞0），
依题意得c=2，
2a=|PF1|+|PF2|=，
∴a=，则b2=a2﹣c2=6，
故椭圆F的标准方程为；
（Ⅱ）若△ABC为正三角形，则AB⊥OC且|OC|=|OA|，
显然直线AB的斜率存在且不为0，
设AB方程为y=kx，
则OC的方程为y=﹣，联立，
解得，，
∴|OA|=，
同理可得|OC|=．
又|OC|=|OA|，
∴，
化简得：k2=﹣3，k无实数解，
∴△ABC不可能为正三角形．
【点评】本题考查利用椭圆定义求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．