2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期期中数学（奥赛班）试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年江西省上饶中学高一上学期期中数学（奥赛班）试题 一、单选题 ‎1．给出下列关系式： ①； ②； ③； ④，其中正确关系式的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据属于关系、集合相等、子集关系的概念逐一判断即可选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①:因为是无理数，表示有理数集合，所以不正确；‎ ‎②：因为集合的元素是，集合的元素是，所以不正确；‎ ‎③：因为集合的元素是，所以正确；‎ ‎④：因为空集是任何集合的子集，所以正确，因此有2个关系式是正确的，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了属于关系、集合相等、子集关系的概念，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用二次根式不小于0，分母不为0，列不等式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知得，解得且．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定义域的求法，是基础题．‎ ‎3．已知函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（ ）‎ A． B．﹣1 C．1 D．或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，若要满足函数f（x）＝（3m2﹣2m）xm是幂函数且f（x）为增函数，则应满足且，即可解出m的值。‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，‎ 解得 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的定义及性质。‎ ‎4．给出函数f（x），g（x）如表，则（ ）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ g（x）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，查表格得出的值，再将结果代入中，再次查表格即可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 查表可知，‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据复合函数的定义求函数值。‎ ‎5．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分析出f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数，再求出f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0，根据零点定理即得解.‎ ‎【详解】‎ 易知f(x)＝ln x－在定义域(0，＋∞)上是增函数(增函数+增函数=增函数)，‎ 又f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0.‎ 根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x－有唯一零点，且在区间(1，2)内.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的判断和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6．实数+lg4+2lg5的值为（ ）‎ A．21 B．24 C．28 D．29‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，将化成，化成，再利用进行运算。‎ ‎【详解】‎ 原式 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数与对数的运算法则。‎ ‎7．已知函数在上单调递减， 则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，要使函数在上单调递减，应满足为减函数，且为减函数，同时，当时，，即可解出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可得 解得，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察根据函数的单调性求参数。‎ ‎8．若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数 A． B．0‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据是奇函数，即可求出，而根据时，即可得出，从而求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵是定义在上的奇函数，，且时，；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.‎ ‎9．已知函数，则函数的最大值是（ ）‎ A．7 B．8 C．21 D．22‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，得出函数的解析式，并根据函数的性质求出函数的定义域，再利用换元法令，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出的最大值，即函数的最大值。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ 的定义域为 的定义域应满足 即 令，则 则 可知，在上是单调递增的，‎ 即函数的最大值为8。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求复合函数的定义域以及利用换元法求函数的最值。‎ ‎10．已知正实数满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，‎ 结合图象可得：，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎11．若函数的值域为，则的单调递增区间为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知得令的最大值是，所以解得，‎ 所以 ，‎ 又因为在上且在上单调递增，在上单调递减，‎ 根据复合函数的单调性得C选项正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先将函数进行等价变形，然后结合函数的解析式得到函数的大致图像，最后数形结合可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意当时,即方程有4个解.‎ 又由函数与函数的大致形状可知,‎ 直线与函数的左右两支曲线都有两个交点，‎ 当时,函数的最大值为,则a>1,‎ 同时在[-1,1]上的最小值为,‎ 当a>1时,在(1,a]上最大值为，‎ 要使恰有4个零点,则满足,即.‎ 解得20，则实数m的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，利用奇函数的图像关于原点对称，可得函数f(x)在[－2,2]上单调递增，再根据函数定义域的性质，可得，，再根据奇函数的性质，将f(m－1)+f(m)>0化为，解此不等式，只需满足即可，分别解出的范围取交集即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，函数f(x)在[－2,2]上单调递增，‎ ‎ f(m－1)+f(m)>0可化为，解此不等式只需 解得 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质以及根据函数的单调性与奇偶性求参数范围。‎ ‎16．已知函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据题意，对二次项系数是否为零进行讨论，当时，满足条件；当时，函数 图象是抛物线，则可以分两种情况：第一种，对称轴，且;第二种，对称轴。分别求出的范围，再取并集，即可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 当时，令，可得，满足条件。‎ 当时，函数图象是抛物线，且与轴的交点为，由函数有且仅有一个正实数的零点，可分两种情况：‎ 第一种，对称轴，且，解得；‎ 第二种，只需对称轴即可，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围是或。‎ 故答案为：或。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知函数零点个数求参数，解决此题的关键是分类讨论，灵活运用二次函数的性质。‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}．‎ ‎（Ⅰ）分别求A∩B，（∁RB）∪A；‎ ‎（Ⅱ）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（I）求出集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，由此能求出A∩B，∁RB，（∁RB）∪A．‎ ‎（Ⅱ）由集合C＝{x|1＜x＜a}，集合A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A，得当C＝∅时，a＜1；当C≠∅时，．由此能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}．‎ ‎∴A∩B＝{x|2f(x2)，‎ ‎∴f(x)在R上为减函数.‎ ‎(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，‎ ‎∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，‎ f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，‎ ‎∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，‎ ‎∵f(x)在R上为减函数，‎ ‎∴a2＋a－5>1⇒a＜－3或a>2，即a∈‎ ‎(3)法一：由题意得：，因为在R上为减函数.‎ ‎，即，‎ 令，则，即在上有解，‎ 设，因为 ，结合图像可知：‎ ‎，即，解得： ‎ 法二：由题意得：，因为在R上为减函数.‎ ‎，即，‎ 令，则，在上有解，‎ 由对勾函数可知 ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数及其应用，解决问题时常利用赋值迭代法等，在解参数范围时，关键要利用函数的单调性，去掉“”符号，转化为代数不等式求解，但特别要注意函数定义域的问题。‎