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- 2023-12-17 发布
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数
8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）函数f（x）=的定义域是 ．
10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是 ．
11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．
12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ．
13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= ．
14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 ．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞
0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．
16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=
（Ⅰ） 证明PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．
（1）当a=5时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．
19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（09）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M={y|y=，x，y∈N}的元素个数是（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解答】解：因为M={y|y=，x，y∈N}，
所以，当x=0时，y=∉N；
当x=1时，y=∈N；
当x=2时，y=∉N；
当x=3时，y=∉N；
当x=4时，y=∉N；
当x=5时，y=∈N；
当x≥6时，，所以y∉N．
综上，M={y|y=，x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个．
故选A．
2．（5分）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【解答】解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
3．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故
故选C
4．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，
所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，
故选B．
5．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，
0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；
1=e0＞=＞=，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．
7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数
【解答】解：A显然正确；
∵=D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）==D（x），
∴T=1为其一个周期，
故C错误；
∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C．
8．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【解答】解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有=
≤
≤
=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选D．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）函数f（x）=的定义域是 {x|﹣1＜x≤2且x≠0} ．
【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．
∴函数f（x）=的定义域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．
故答案为：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．
10．（5分）在R上为减函数，则a的取值范围是 ．
【解答】解：∵在R上为减函数，
∴
即
∴
故答案为
11．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．
∵0≤x＜2π，
∴﹣≤x﹣＜，
∴ymax=2，此时x﹣=，
∴x=．
故答案为：．
12．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．
【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，
所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3
所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1
故答案为：﹣1．
13．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= 6 ．
【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，
∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．
经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．
故c=6．
故答案为6．
14．（5分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 （﹣∞，1] ．
【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数
由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（12分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（2）设a∈（0，），则f（）=2，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴最小正周期T=π，∴ω=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以f（x）=2sin（2x﹣）+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
令，即 ，
∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为 ．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅱ）∵f（）=2sin（α﹣）+1=2，即 sin（α﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，∴α=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
16．（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．
【解答】解：（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则P（Ak）=，P（Bk）=，k∈（1，2，3）．
记“甲获胜”为事件C，
由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：
P（C）=P（A1）+P（）+P（）
=+
=
=．﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）ξ的所有可能为：1，2，3，
由独立性知：P（ξ=1）=P（A1）+P（）==，
P（ξ=2）=P（）+P（）=+（）2（）2=，
P（ξ=3）=P（）=（）2（）2=，
综上知，ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∴Eξ==（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=
（Ⅰ） 证明PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
【解答】（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=
∴AC2+AD2=CD2，
∴AD⊥AC，…（1分）
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2），
得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），
∴=0，∴PC⊥AD．…（4分）
解：（Ⅱ），，
设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），
则，不妨令z=1，得=（1，2，1），
可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），
于是cos＜＞==，
从而sin＜＞=，
所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．…（8分）
（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，
由此得=（），由=（2，﹣1，0），
故，
∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，
∴=cos30°=，解得h=，即AE=．…（13分）
18．（14分）已知函数f（x）=x﹣a+lnx，（a为常数）．
（1）当a=5时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）为增函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
（1）当a=5时，
令f'（x）=0得，或x=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）f'（x），f（x）随x的变化情况如下表
x
4
（4，+∞）
f'（x）
+
0
__
0
+
f（x）
递增
递减
﹣6+ln4
递增
由上表可得函数的极大值为=，极小值为f（4）=﹣6+ln4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（2）由题意得在区间（0，+∞）恒成立，﹣﹣﹣﹣（8分）
即在区间（0，+∞）恒成立，
∴在区间（0，+∞）恒成立．﹣﹣﹣﹣（10分）
∵，当且仅当，即x=1时等号成立．
∴=4﹣﹣﹣﹣（13分）
所以a的取值范围是（﹣∞，4]．﹣﹣﹣﹣（14分）
19．（14分）设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（2）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣1，1]恒成立，求b的取值范围．
【解答】解：（1）求导函数可得f'（x）=x（4x2+3ax+4），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
即有△=9a2﹣64≤0，解得．
所以a的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，
当且仅当，即在a∈[﹣2，2]上恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
20．（14分）已知函数f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax﹣e
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e
令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）
（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）
∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，∴g（x）有唯一零点
∵g（x0）=0，g′（x）=
（1）若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0
当x＜x0时，g′（x）＜0，∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零点x=x0，由P的任意性a≥0不合题意；
（2）若a＜0，令h（x）=，则h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，则x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；
①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增
∴g（x）只有唯一零点x=x0；
②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，则当x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0
任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=
∵a＜0，∴必存在x2＜x1，使得
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；
③若x0＜ln（﹣2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有两个零点；
综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．