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- 2023-12-04 发布
江苏省马坝高级中学2018-2019学年度第二学期期中考试
高二数学试题（文科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1.已知集合，，则集合_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，因为集合，所以。
【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
2.设复数满足（为虚数单位），则的模为________．
【答案】1.
【解析】
【分析】
根据复数的运算可得，再利用模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，则，
则的模为.
【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3.命题“，”的否定是_______________________．
【答案】
【解析】
因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是“”
，故答案为.
4.函数的定义域为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．
【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，
∴x≥2，
故答案为[2，+∞）．
【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．
5.已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
令，可得，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，令，可得，
所以函数（且）的图象过定点.
【点睛】本题主要考查了指数函数的过定点问题，其中解答中根据函数的解析式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6.若，则的值为________.
【答案】3
【解析】
∵，∴,∴
故答案为：3
7.若，，，则，，按从大到小的顺序排列依次为______．
【答案】
【解析】
【分析】
可看出，从而比较出a，b，c的大小．
【详解】解：，，；
．
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．
8.函数的单调递增区间为_____________.
【答案】
【解析】
函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.
9.已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则________．
【答案】－3
【解析】
f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
10.若直线是曲线的切线，则实数的值为____________．
【答案】．
【解析】
设切点为，由得，
故切线方程为，整理得，
与比较得，解得，故
11.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形中的两边，互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：．若三棱锥的三个侧面，，两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积，，与底面积之间满足的关系为________.
【答案】
【解析】
【分析】
斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．
【详解】由边对应着面，边长对应着面积，
由类比可得，
故答案为．
点睛】本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．
12.已知函数，若对任意，均满足，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；
考点：1.函数的单调性；2.导数研究函数的单调性；
13.若函数在上存在极值，则实数的取值范围是__________
【答案】.
【解析】
由题得，由于函数f(x)在R上存在极值，
所以，故填.
点睛：本题的难点在于如何观察图像分析得到函数f(x)在R上存在极值的条件，这里主要是观察二次函数的判别式.
14.已知函数是定义在的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用偶函数的性质将不等式化简为，再利用函数在
上的单调性即可转化为，然后求得的范围.
【详解】因为为R上偶函数，则，
所以，
所以，即，
因为为上的减函数，，所以，
解得，所以，的范围为.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为与大小比较的形式：；
（2）利用函数单调性将转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
2.偶函数的性质：；奇函数性质：；
3.若在D上为增函数，对于任意，都有；
若在D上为减函数，对于任意，都有.
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.设集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2）m的取值范围是（0，].
【解析】
试题分析：（1）化简集合A，当m=2时，求解集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B；（2）根据A⊇B，建立条件关系即可求实数m的取值范围
试题解析：
（1）集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤4}={x|2﹣5≤2﹣x≤22}={x|﹣2≤x≤5}
当m=2时，B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}={x|﹣6＜x＜2}，
那么：A∩B={x|﹣2≤x＜2}．
（2）B={x|x2+2mx﹣3m2＜0}
由x2+2mx﹣3m2＜0
可得：（x+3m）（x﹣m）＜0
∵m＞0∴﹣3m＜x＜m故得集合B={x|﹣3m＜x＜m}，要使B⊆A成立，只需﹣3m≥﹣2且m≤5，解得：m≤．所以：0＜m≤ .
综上可得m的取值范围是（0，]．
点睛：解决集合问题应注意的问题（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．（3）防范空集．在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．
16.设：实数满足，其中；：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）化简命题p，q中的不等式，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，求出两个命题为真命题的范围，取并集即答案；
（2）记，，根据p是q必要不充分条件，即，从而得到a的不等式组，解之即可．
试题解析：
（1）由，得，又，所以，
当时，，即为真时实数的取值范围是.
为真时等价于，得，
即为真时实数的取值范围是.
若为真，则实数的取值范围是.
（2）是的必要不充分条件，等价于且，
设，，则；
则，所以实数的取值范围是.
17.已知，其中是自然常数，.
（1）当时，求的单调性和极值；
（2）若有解，求的取值范围.
【答案】(1) 当的极小值为，无极大值.(2) .
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）将有解，转化为在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，则，
∴当时，，此时为单调递减；
当时，，此时为单调递增.
∴当的极小值为，无极大值.
（2）∵，
所以在上有解，即在上有解，
令，，∴，
令，则，
当时，，此时为单调递增，
当时，，此时为单调递减，
∴，∴实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的有解问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
18.如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.
（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
【答案】(1) .(2) 当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.
【解析】
分析】
设包装盒的高为，底面边长为，（1）中，求得，根据二次函数的性质，即可求解.
（2）中，求得容积，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】设包装盒的高为，底面边长为.
由已知得，，.
（1），
所以当时，取得最大值.
（2）由题意，可得，则.
由得（舍去）或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极大值，也是最大值，此时.
即当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.
【点睛】本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析式，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
19.已知函数.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为奇函数，求实数的值；
（3）在（2）条件下，若对任意的正数,不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）增函数（2）（3）的取值范围﹤
【解析】
【分析】
（1）在定义域上任取两个变量，且规定大小，再将对应的函数值作差变形看符号，利用单调性的定义即可得到结论．
（2）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（﹣x）＝0求得．
（3）先求得a，结合（1）（2）得﹥对任意﹥0恒成立，利用二次函数图像及性质可得答案．
【详解】（1）函数为R上的增函数，证明如下：
函数的定义域为R，对任意，
设﹤，，
因为为R上的增函数，且﹤，所以﹤0，﹤0， ﹤函数为R上的增函数。
（2）∵函数为奇函数
∴，∴
当时，
∴，
此时，函数为奇函数，满足题意。
所以.
（3）因为函数为奇函数，从而不等式﹥0对任意的恒成立等价于不等式﹥对任意的恒成立。
又因为在（—∞，+∞）上为增函数，
所以等价于不等式﹥对任意的﹥0恒成立，
即2﹥0对任意的﹥0恒成立.
所以必须有﹥0且△﹤0；或，
所以实数的取值范围﹤
【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了函数的单调性、奇偶性的证明及应用，考查了推理论证的数学能力，是中档题．
20.已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调减区间；
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由时，可得，求得和，利用直线的点斜式方程，即可求解.
（2）由函数，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间.
【详解】（1）由题意，当时，可得，所以.
又由，所以，即切线斜率为，
所以切线方程为，即.
（2）由函数，则，
当时，，函数单调递增，所以无单调减区间；
当即时，列表如下：
-2
+
0
-
0
+
极大值
极小值
所以的单调减区间是.
当即时，，列表如下：
-2
+
0
-
0
+
极大值
极小值
所以的单调减区间是.
综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；
当时，的单调减区间是.
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数与函数的单调性的关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.